Question

【題目】我國魏晉時期的數學家劉徽創立了“割圓術”，認為圓內接正多邊形邊數無限增加時，周長就越接近圓周長，由此求得了圓周率π的近似值，設半徑為r的圓內接正n邊形的周長為L，圓的直徑為d，如圖所示，當n=6時，，那么當n=12時，π≈=______．（結果精確到0.01，參考數據：sin15°=cos75°≈0.259）

Answer 1

【答案】3.11．

【解析】如圖 ,

圓的內接正十二邊形被半徑分成如圖所示的十二個等腰三角形 , 其頂角為 30°, 即 ∠O=30°,∠ABO=∠A=75° ，

作 BC⊥AO 于點 C, 則 ∠ABC=15° ，

∵AO=BO=r ，

∴BC=r,OC= r ，

∴AC=(1 )r ，

∵Rt△ABC 中 ,cosA=，

即 0.259= ，

∴AB≈0.517r ，

∴L=12×0.517r=6.207r ，

又 ∵d=2r ，

∴π≈≈3.10 ，

故答案為： 3.10