Question

【題目】如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，對稱軸為直線x=2的拋物線經過點A、B，并與x軸交于另一點C，其頂點為P．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對稱軸上有一點Q，使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求Q點的坐標；

（3）在直線BC的下方的拋物線上有一動點M，其橫坐標為m，△MBC的面積為S，求S關于m的函數關系式，并求S的最大值及此時點M的坐標；

（4）平行于BC的動直線分別交△ABC的邊AC、AB與點D、E，將△ADE沿DE翻折，得到△FDE，設DE=x，△FDE與△ABC重疊部分的面積為y，直接寫出y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=（2）（2，2）；（3）（）（4）y=

【解析】

試題分析：（1）先求出直線y=-3x+3與x軸交點A，與y軸交點B的坐標，再將A、B兩點坐標代入y=a（x-2）2+k，得到關于a，k的二元一次方程組，解方程組即可求解；

（2）設Q點的坐標為（2，m），對稱軸x=2交x軸于點F，過點B作BE垂直于直線x=2于點E．在Rt△AQF與Rt△BQE中，用勾股定理分別表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+2，解方程求出m=2，即可求得Q點的坐標；

（3）當點N在對稱軸上時，由NC與AC不垂直，得出AC為正方形的對角線，根據拋物線的對稱性及正方形的性質，得到M點與頂點P（2，-1）重合，N點為點P關于x軸的對稱點，此時，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，則四邊形AMCN為正方形，在Rt△AFN中根據勾股定理即可求出正方形的邊長．

（4）根據三角形的面積和相似三角形的性質，根據不同的范圍可列函數的解析式.

試題解析：（1）∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，∴A（1，0），B（0，3）．

又∵拋物線的對稱軸為直線x=2，∴拋物線與x軸的另一個交點C的坐標為（3，0），

設拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-3)，∵拋物線經過點B（0，3），

∴3a=3，解得a=1，故拋物線的解析式為y=；

（2）設Q點的坐標為（2，e），對稱軸x=2交x軸于點T，過點B作BR垂直于直線x=2于點R．在Rt△AQT中，AQ2=AT2+QT2=1+e2，在Rt△BQR中，BQ2=BR2+RQ2=4+（3﹣e）2，

∵AQ=BQ，∴1+e2=4+（3﹣e）2，∴e=2，∴Q點的坐標為（2，2）；

（3）過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，，M（m，）（0﹤m﹤3）,

N(m，-m+3)，MN=-m+3-（）=，∴S=，當m=，此時M（）.

⑷依題意得△CBA面積為3，BC=.當點F在BC上時，AF⊥BC，且AF=，此時x=DE=，所以分種情況考慮，①當0＜x≤時，△ADE≌△FDE，△ADE∽△ACB，而，計算得．②當＜x＜時，連結AF交ED于K、交BC于G，EF交BC于H，DF交BC于I，由△ADE∽△ACB求得FK＝AK＝，FG＝，再由△FHI∽△FED得，∴．

∴y=

綜上所述，函數關系式為y=