Question

【題目】已知：如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為BC的中點，E為AC上一點，點G在BE上，連接DG并延長交AE于F，若∠FGE=45°．

（1）求證：BDBC=BGBE；

（2）求證：AG⊥BE；

（3）若E為AC的中點，求EF：FD的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

試題（1）根據題意，易證△GBD∽△CBE，得，即BDBC=BGBE；

（2）可通過證明ABG∽△EBA從而求得AG⊥BE；

（3）首先連接DE，E是AC中點，D是BC中點，得出DE∥BA，因為BA⊥AC，所以 DE⊥AC設AB=2a AE=a，做CH⊥BE交BE的延長線于H，再利用△AEG≌△CEH，以及△DEF∽△BHC得出即可．

試題解析：（1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°．∵∠BGD=∠FGE=45°，∴∠C=∠BGD．∵∠GBC=∠GBC，∴△GBD∽△CBE，∴，即BDBC=BGBE；

（2）證明：∵BDBC=BGBE，∠C=45°，∴BG====，∴=，∠ABG=∠EBA，∴△ABG∽△EBA，∴∠BGA=∠BAE=90°，∴AG⊥BE；

（3）解：連接DE，連接DE，E是AC中點，D是BC中點，∴DE∥BA．∵BA⊥AC，∴DE⊥AC，設AB=2a AE=a，做CH⊥BE交BE的延長線于H．∵∠AEG=∠CEH，∠AGE=∠CHE，AE=EC，∴△AEG≌△CEH（AAS），∴CH=AG，∠GAE=∠HCE．∵∠BAE為直角，∴BE=a，∴AG=AB×=a=a，∴CH=a．∵AG⊥BE，∠FGE=45°，∴∠AGF=45°=∠ECB．∵∠FGE=45°，∴∠AGE=90°，∴AG∥CH，∴∠GAE=∠HCE．∵∠DFE=∠GAE+∠AGF=∠HCE+∠ECB，∴∠DFE=∠BCH．又∵DE⊥AC，CH⊥BE，∴△DEF∽△BHC，∴EF：DF=CH：BC=a：2a=．