Question

【題目】如圖，將兩個全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（圖（1））．令△ABD不動，

（1）若將△ACE繞點A逆時針旋轉，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC（圖（2）），證明：MB=MC．

（2）若將圖（1）中的CE向上平移，∠CAE不變，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC（圖（3）），判斷MB、MC的數量關系，并說明理由．

（3）在（2）中，若∠CAE的大小改變（圖（4）），其他條件不變，則（2）中的MB、MC的數量關系還成立嗎？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）MB=MC．理由見解析；（3）MB=MC還成立，見解析．

【解析】

（1）連接AM，根據全等三角形的對應邊相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形對應角相等可得∠BAD=∠CAE，再根據等腰三角形三線合一的性質得到∠MAD=∠MAE，然后利用“邊角邊”證明△ABM和△ACM全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）延長DB、AE相交于E′，延長EC交AD于F，根據等腰三角形三線合一的性質得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根據兩直線平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根據等角對等邊即可得證；
（3）延長BM交CE于F，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角邊”證明△MDB和△MEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得MB=MF，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明即可．

（1）如圖（2），連接AM，由已知得△ABD≌△ACE，

∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE.

∵MD=ME，

∴∠MAD=∠MAE，

∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，

即∠BAM=∠CAM.

在△ABM和△ACM中，

AB=AC，

∠BAM=∠CAM，

AM=AM，

∴△ABM≌△ACM（SAS），

∴MB=MC.

（2）MB=MC．

理由如下：如圖（3），延長CM交DB于F，延長BM到G，使得MG=BM，連接CG.

∵CE∥BD，

∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD.

∵M是ED的中點，

∴MD=ME.

在△MCE和△MFD中，

∠MCE=∠MFD，

∠MEC=∠MDF，

MD=ME，

∴△MCE≌△MFD（AAS）.

∴MF=MC.

∴在△MFB和△MCG中，

MF=MC，

∠FMB=∠CMG，

BM=MG，

∴△MFB≌△MCG（SAS）.

∴FB=GC，∠MFB=∠MCG，

∴CG∥BD，即G、C、E在同一條直線上.

∴∠GCB=90°.

在△FBC和△GCB中，

FB=GC，

∠FBC=∠GCB，

BC=CB，

∴△FBC≌△GCB（SAS）.

∴FC=GB.

∴MB=GB=FC=MC.

（3）MB=MC還成立．

如圖（4），延長BM交CE于F，延長CM到G，使得MG=CM，連接BG.

∵CE∥BD，

∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE.

又∵M是DE的中點，

∴MD=ME.

在△MDB和△MEF中，

∠MDB=∠MEF，

∠MBD=∠MFE，

MD=ME，

∴△MDB≌△MEF（AAS），

∴MB=MF.

∵CE∥BD，

∴∠FCM=∠BGM.

在△FCM和△BGM中，

CM=MG，

∠CMF=∠GMB，

MF=MB，

∴△FCM≌△BGM（SAS）.

∴CF=BG，∠FCM=∠BGM.

∴CF//BG，即D、B、G在同一條直線上.

在△CFB和△BGC中，

CF=BG，

∠FCB=∠GBC，

CB=BC，

∴△CFB≌△BGC（SAS）.

∴BF=CG.

∴MC=CG=BF=MB．