Question

【題目】如圖1，平面內有一點P到△ABC的三個頂點的距離分別為PA、PB、PC，若有PA2+PB2＝PC2，則稱點P為△ABC關于點C的勾股點．

（1）如圖2，在4×3的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點在格點上，請找出所有的格點P，使點P為△ABC關于點A的勾股點．

（2）如圖3，△ABC為等腰直角三角形，P是斜邊BC延長線上一點，連接AP，以AP為直角邊作等腰直角三角形APD（點A、P、D順時針排列）∠PAD＝90°，連接DC，DB，求證：點P為△BDC關于點D的勾股點．

（3）如圖4，點E是矩形ABCD外一點，且點C是△ABE關于點A的勾股點，若AD＝8，CE＝5，AD＝DE，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）如圖2-1，圖2-2，求出PA2，PB2，PC2，得到PC2+PB2＝PA2，即得出點P是△ABC關于點A的勾股點；

（2）證明△ABD≌△ACP（SAS），得出BD＝CP，∠ABD＝∠ACP＝135°，證明∠DBP＝90°，則結論得證；

（3）由條件“點C是△ABE關于點A的勾股點”可得CE＝CD＝5，如圖3，過點E作MN⊥AB于點M，交DC的延長線于點N，設AM＝DN＝x，則CN＝DN﹣CD＝x﹣5，由勾股定理可得82﹣x2＝52﹣(x﹣5)2，求出x的值，進而求出AM，ME的長，則答案可得出．

解：（1）如圖2-1，

∵PA2＝12+32＝10，PB2＝12+22＝5，PC2＝PB2＝5，

∴PA2＝PC2+PB2，

∴點P是△ABC關于點A的勾股點；

如圖2-2，

∵PA2＝32+32＝18，PB2＝12+42＝17，PC2＝1，

∴PA2＝PC2+PB2，

∴點P是△ABC關于點A的勾股點；

（2）∵△ABC和△APD為等腰直角三角形，

∴AB＝AC，AD＝AP，∠BAC＝∠DAP＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAP﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAP，

∴△ABD≌△ACP（SAS），

∴BD＝PC，∠ABD＝∠ACP＝135°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠DBP＝∠ABD﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°，

∴BD2+PB2＝PD2，

∴PC2+PB2＝PD2，

∴點P為△BDC關于點D的勾股點．

（3）解：∵矩形ABCD中，AD＝8，

∴AD＝BC＝8，CD＝AB，

∵AD＝DE，

∴DE＝8，

∵點C是△ABE關于點A的勾股點，

∴AC2＝CB2+CE2，

∵AC2＝AB2+BC2，

∴CE＝CD＝5，

如圖3，過點E作MN⊥AB于點M，交DC的延長線于點N，

∴∠AME＝∠MND＝90°，

∴四邊形AMND是矩形，

∴MN＝AD＝8，AM＝DN，

設AM＝DN＝x，則CN＝DN﹣CD＝x﹣5，

∵Rt△DEN中，EN2+DN2＝DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2＝CE2，

∴DE2﹣DN2＝CE2﹣CN2，

∴82﹣x2＝52﹣(x﹣5)2

解得：x＝，

∴EN═＝＝，AM＝DN＝，

∴ME＝MN﹣EN＝8﹣＝，

∴Rt△AME中，AE＝＝＝．