Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點D和點C關于拋物線的對稱軸對稱，直線AD下方的拋物線上有一點P，過點P作PH⊥AD于點H，作PM平行于y軸交直線AD于點M，交x軸于點E，求△PHM的周長的最大值；

（3）在（2）的條件下，以點E為端點，在直線EP的右側作一條射線與拋物線交于點N，使得∠NEP為銳角，在線段EB上是否存在點G，使得以E，N，G為頂點的三角形與△AOC相似？如果存在，請求出點G的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4．（2）當a=1時，PM有最大值，最大值為4．（3）存在，點G的坐標為（，0）或（，0）．

【解析】

試題分析：（1）先由銳角三角函數的定義求得C的坐標，從而得到點B的坐標，設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣4），將點C的坐標代入求解即可；

（2）先求得拋物線的對稱軸，從而得到點D（3，﹣4），然后可求得直線AD的解析式y=﹣x﹣1，故∠BAD=45°，接下來證明△PMD為等腰直角三角形，所當PM有最大值時三角形的周長最大，設P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），則PM=﹣a2+2a+3，然后利用配方可求得PM的最大值，最后根據△MPH的周長=（1+）PM求解即可；

（3）當∠EGN=90°時，如果或，則△AOC∽△EGN，設點G的坐標為（a，0），則N（a，a2﹣3a﹣4），則EG=a﹣1，NG=﹣a2+3a+4，然后根據題意列方程求解即可．

解：（1）∵點A的坐標為（﹣1，0），

∴OA=1．

又∵tan∠ACO=，

∴OC=4．

∴C（0，﹣4）．

∵OC=OB，

∴OB=4

∴B（4，0）．

設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣4）．

∵將x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4．

（2）∵拋物線的對稱軸為x=﹣=，C（0，﹣4），點D和點C關于拋物線的對稱軸對稱，

∴D（3，﹣4）．

設直線AD的解析式為y=kx+b．

∵將A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，解得k=﹣1，b=﹣1，

∴直線AD的解析式y=﹣x﹣1．

∵直線AD的一次項系數k=﹣1，

∴∠BAD=45°．

∵PM平行于y軸，

∴∠AEP=90°．

∴∠PMH=∠AME=45°．

∴△MPH的周長=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．

設P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），則PM=﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3，

∵PM=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，

∴當a=1時，PM有最大值，最大值為4．

∴△MPH的周長的最大值=4×（1+）=4+4．

（3）如圖1所示；當∠EGN=90°．

設點G的坐標為（a，0），則N（a，a2﹣3a﹣4）．

∵∠EGN=∠AOC=90°，

∴時，△AOC∽△EGN．

∴=，整理得：a2+a﹣8=0．

解得：a=（負值已舍去）．

∴點G的坐標為（，0）．

如圖2所示：當∠EGN=90°．

設點G的坐標為（a，0），則N（a，a2﹣3a﹣4）．

∵∠EGN=∠AOC=90°，

∴時，△AOC∽△NGE．

∴=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．

解得：a=（負值已舍去）．

∴點G的坐標為（，0）．

∵EN在EP的右面，

∴∠NEG＜90°．

如圖3所示：當∠ENG′=90°時，

EG′=EG××=（﹣1）×=．

∴點G′的橫坐標=．

∵≈4.03＞4，

∴點G′不在EG上．

故此種情況不成立．

綜上所述，點G的坐標為（，0）或（，0）．