Question

【題目】在 中， 于點，點是射線上一點，連接，過點作于點，且交直線于點．

（1）如圖1，當點在線段上時，求證：．
（2）如圖2，當點在線段上時，其它條件不變，請猜想與之間的數量關系，并說明理由．
（3）如圖3，當點在線段 的延長線上時，其它條件不變，請直接寫出與之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE=CG，理由見解析；（3）CG=AE

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到∠A=∠ABC，根據同角的余角相等得到∠CBG=∠ACE，根據ASA證明△ACE≌△CBG，即可得出結論；
（2）同理即可證明△ACE≌△CBG，即可得出結論；
（3）同（2）可得∠A=∠GCB=45°，證得∠CGB=∠AEC，可證明△ACE≌△CBG，即可得出結論．

（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°．
∵點D是AB的中點，
∴∠BCG=∠ACB=45°，
∴∠A=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
在△ACE和△CBG中，
，
∴△ACE≌△CBG（ASA），
∴AE=CG；
（2）AE=CG；理由如下：
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°．
∵點D是AB的中點，
∴∠BCG=∠ACB=45°，
∴∠A=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
在△ACE和△CBG中，
，
∴△ACE≌△CBG（ASA），
∴AE=CG；
（3）CG=AE．
證明：同（1）（2）可得∠A=∠GCB=45°，
∵BF⊥CE，
∴∠GDB=∠BFE=90°，
∵∠DBG=∠FBE，
∴∠CGB=∠AEC，
，
∴△ACE≌△CBG（AAS），
∴CG=AE．