Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形AOBC的頂點C的坐標是（2，4），動點P從點A出發，沿線段AO向終點O運動，同時動點Q從點B出發，沿線段BC向終點C運動．點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，設運動時間為t秒，過點P作PE⊥AO交AB于點E．

（1）求直線AB的解析式；

（2）在動點P、Q運動的過程中，以B、Q、E為頂點的三角形是直角三角形，直按寫出t的值；

（3）設△PEQ的面積為S，求S與時間t的函數關系，并指出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+4（2）2或（3）S＝t2﹣t（2＜t≤4）

【解析】

（1）依據待定系數法即可求得；

（2）根據直角三角形的性質解答即可；

（3）有兩種情況：當0＜t＜2時，PF＝4﹣2t，當2＜t≤4時，PF＝2t﹣4，然后根據面積公式即可求得；

（1）∵C（2，4），

∴A（0，4），B（2，0），

設直線AB的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得，

∴直線AB的解析式為y＝﹣2x+4．

（2）當以B、Q、E為頂點的三角形是直角三角形時，P、E、Q共線，此時t＝2，

當以B、Q、E為頂點的三角形是直角三角形時，EQ⊥BE時，此時t＝；

（3）如圖2，過點Q作QF⊥y軸于F，

∵PE∥OB，

∴，

∵AP＝BQ＝t，∴PE＝t，AF＝CQ＝4﹣t，

當0＜t＜2時，PF＝4﹣2t，

∴S＝PEPF＝×t（4﹣2t）＝t﹣t2，

即S＝﹣t2+t（0＜t＜2），

當2＜t≤4時，PF＝2t﹣4，

∴S＝PEPF＝×t（2t﹣4）＝t2﹣t（2＜t≤4）．