Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底邊AB上有一動點E，滿足∠DEQ=120°，EQ交射線DC于點F．

(1)求下底DC的長度；

(2)當(dāng)點E是AB的中點時，求線段DF的長度；

(3)請計算射線EF經(jīng)過點C時，AE的長度．

 

Answer 1

【答案】

（1）DC=7 （2）DF＝6  (3) AE=2或5

【解析】

試題分析：解：（1）作點B到DC的垂線，交DC于G

在梯形ABCD中，因為∠A=90°

所以DG=AB=6

因為∠B=120°，所以∠C=60°

又因為AD=BF=

所以CG=1

所以DC="DG+GC=6+1=7"

（2）解：如圖1，過E點作EG⊥DF，

∵E是AB的中點，

∴DG＝3，

∴EG＝AD＝，

∴∠DEG＝60°，

∵∠DEF＝120°，

∴tan60°＝，   

解得GF＝3，

∴DF＝6；

(3)如圖2所示：

過點B作BH⊥DC，，過點C作CM⊥AB交AB延長線于點M，則BH＝AD＝，

∵∠ABC＝120°，AB∥CD，

∴∠BCH＝60°，

∴CH＝＝＝1，BC＝＝＝2，

設(shè)AE＝x，則BE＝6－x，

在R t △ADE中，DE＝＝＝，

在R t △EFM中，EF＝＝＝，

∵AB∥CD，

∴∠EFD＝∠BEC，

∵∠DEF＝∠B＝120°，

∴△EDF∽△BCE，

∴＝，即＝，

解得x＝2或5．

∴AE=2或5．

考點：直角梯形的性質(zhì)和勾股定理

點評：該題主要考查學(xué)生對勾股定理和直角梯形性質(zhì)的理解和應(yīng)用，以及對特殊角、特殊三角形性質(zhì)的運用。