Question

在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD如圖放置，邊AB在x軸上，點A坐標為（1，0），點C坐標為（3，m）（m＞0）．連接OC交AD與E，射線OD交BC延長線于F．
（1）求點E、F的坐標﹔
（2）當x的值改變時：
①證明﹕經過O、E、F三點的拋物線的最低點一定為原點﹔
②設經過O、E、F三點的拋物線與直線CD的交點為P，求PD的長﹔
③探究﹕△ECF能否成為等腰三角形？若能，請求出△ECF 的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據相似三角形的判定和性質即可求出點E、F的坐標﹔
（2）①二次函數的圖象經過坐標原點O，可設二次函數為y=ax²+bx，根據待定系數法求出二次函數的解析式，即可證明經過O、E、F三點的拋物線的最低點一定為原點﹔
②根據縱坐標相等可得方程，求得x的值，從而得到PD的長﹔
③根據等腰三角形的性質可得關于m的方程，求得m的值，再根據三角形的面積公式即可求解．
解答：（1）解：∵點A坐標為（1，0），點C坐標為（3，m），
∴OA=1，OB=3，BC=AD=m，
∵AE∥BC，
∴△OAE∽△OBC，
∴=，即AE==，
∴點E坐標為（1，），
同理，得△OAD∽△OBF，
∴=，即BF==3m，
∴點F坐標為（1，3m）；

（2）證明：∵二次函數的圖象經過坐標原點O，
∴設二次函數為y=ax²+bx，
又∵二次函數的圖象經過E、F，
∴，
解得．
∴二次函數的解析式為y=x²，
∴拋物線的最低點一定為原點﹔
②解：∵m=x²，
解得x=±，
∴PD的長為-1，+1；
③答：能．
∵∠ECF為鈍角，
∴僅當EC=FC時，△ECF為等腰三角形，
由EC²=FC²，得CD²+ED²=FC²，
即2²+（m-）²=（3m-m）²，
解得m=±，
∵m＞0，
∴m=，
∴△ECF的面積=FC•CD=×2m×2=．
點評：考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：平行線的性質，相似三角形的判定和性質，待定系數法求二次函數的解析式，等腰三角形的性質，三角形的面積，方程思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．