Question

如圖，已知直線l₁：y=-x+2與l₂：y=

1

2

x+

1

2

，過直線l₁與x軸的交點P₁作x軸的垂線交l₂于Q₁，過Q₁作x軸的平行線交l₁于P₂，再過P₂作x軸的垂線交l₂于Q₂，過Q₂作x軸的平行線交l₁于P₃，…，這樣一直作下去，可在直線l₁上繼續得到點P₄，P₅，…，P_n，…．設點P_n的橫坐標為x_n，則x₂=______，x_n+1與x_n的數量關系是______．

Answer 1

令y=0，則-x+2=0，
解得x=2，
所以，P₁（2，0），
∵P₁Q₁⊥x軸，
∴點Q₁與P₁的橫坐標相同，
∴點Q₁的縱坐標為

1

2

×2+

1

2

=

3

2

，
∴點Q₁的坐標為（2，

3

2

），
∵P₂Q₁∥x軸，
∴點P₂與Q₁的縱橫坐標相同，
∴-x+2=

3

2

，
解得x=

1

2

，
所以，點P₂（

1

2

，

3

2

），
∵P₂Q₂⊥x軸，
∴點Q₂與P₂的橫坐標相同，
∴點Q₂的縱坐標為

1

2

×

1

2

+

1

2

=

3

4

，
∴點Q₂的坐標為（

1

2

，

3

4

），
∵P₃Q₂∥x軸，
∴點P₃與Q₂的縱橫坐標相同，
∴-x+2=

3

4

，
解得x=

5

4

，
所以，點P₃（

5

4

，

3

4

），
…，
∵P₁（2，0），P₂（

1

2

，

3

2

），P₃（

5

4

，

3

4

），
∴x₂=

1

2

，2+2×

1

2

=3，

1

2

+2×

5

4

=3，
∴x_n+2x_n+1=3．
故答案為：

1

2

；x_n+2x_n+1=3．