Question

【題目】已知如圖1菱形ABCD，∠ABC=60°，邊長為 3，在菱形內作等邊三角形△AEF，邊長為2 ，點E，點F，分別在AB，AC上，以A為旋轉中心將△AEF順時針轉動，旋轉角為α，如圖2

（1）在圖2中證明BE=CF；
（2）若∠BAE=45°，求CF的長度；
（3）當CF= 時，直接寫出旋轉角α的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，如圖2所示：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=3，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∵△AEF是等邊三角形，

∴AE=AF，∠EAF=60°，

∴∠EAF﹣∠BAF=∠BAC﹣∠BAF，

∴∠BAE=∠CAF，

在△AEB和△AFC中， ，

∴△AEB≌△AFC（SAS），

∴BE=CF；

（2）解：過E點作EM⊥AB于M，如圖3所示：

∵∠BAE=45°，則△AEM是等腰直角三角形，

∴EM=AM= AE= ×2 =2，

∴BM=AB﹣AM=3﹣2=1，

在Rt△BME中，由勾股定理得：BE= = = ，

由（1）得：CF=BE= ；

（3）解：過E點作EM⊥AB于M，如圖4所示，

則∠EMB=∠EMA=90°，

由（1）得：BE=CF= ，

設AM=x，則BM=3﹣x，

由勾股定理得：BM2=BE2﹣BM2，BM2=AE2﹣AM2，

∴BE2﹣BM2=AE2﹣AM2，即（ ）2﹣（3﹣x）2=（2 ）2﹣x2，

解得：x=0，即點M與A重合，

∴∠BAE=90°，即α=90°；

同理可得：當CF= 時，α還等于270°；

綜上所述：當CF= 時，旋轉角α的度數為90°或270°

【解析】（1）連接AC，證明△AEB≌△AFC，即可得出結論；（2）過E點作EM⊥AB于M，則△AEM是等腰直角三角形，得出EM=AM= AE=2，求出BM=AB﹣AM=1，在Rt△BME中，由勾股定理求出BE，即可得出CF的長；（3）過E點作EM⊥AB于M，則∠EMB=∠EMA=90°，由（1）得：BE=CF= ，設AM=x，則BM=3﹣x，由勾股定理得出方程，積解方程求出x=0，得出點M與A重合，求出∠BAE=90°，即α=90°；同理可得：當CF= 時，α還等于270°即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用菱形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．