Question

如圖1，以△ABC的邊AB、AC為邊向內作正方形ABFG和正方形ACDE，M是DF的中點，N是BC的中點，連接MN．探究線段MN與BC之間的關系，并加以證明．
說明：如果你經過反復探索沒有解決問題，可以從下面①、②中選取一種情況完成你的證明，選取①比原題少得6分，選取②比原題少得8分．
①如圖2，將正方形ACDE繞點A旋轉，使點C、E分別落在AG、AB上；
②如圖3，將正方形ACDE繞點A旋轉，使點B、A、C在一條直線．

Answer 1

解：BC⊥MN．
證明：連接CM，然后延長CM至H，使CM=MH，連接FH、BH、CM、BM，HG、CG，延長CD，與BF相交于I，
∵MF=MD，CM=HM，∠CMD=∠HMF，
∴△CMD≌△HMF，
∴AC=HF=CD，
∴∠HFG=180°-∠GHF-∠HGF，
∴∠HGF=∠DCM，∠GHF=∠IGC，
∠BIC=∠IGC+∠DCM，
∵∠BAC=360°-∠ABI-∠ACI-∠BIC=180°-∠BIC=180°-∠IGC-∠DCM=180°-∠GHF-∠HGF=∠HFB，
∴△ABC≌△FBH，
∵四邊形ABIC中∠ABI=∠ACI=90°，
∴∠HBF=∠ABC，
∵∠CBH=∠HBF+∠CBF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BC⊥BH，
∵N是BC中點，M是HC中點，
∴MN∥BH，
∴BC⊥MN．
分析：延長CM至H，使CM=MH，連接FH、BH、CM、BM，延長CD，與BF相交于I，根據MF=MD，CM=HM，∠CMD=∠HMF，可以證明∠BAC=∠HFB，即可證明△ABC≌△FBH，于是證明得∠CBH=∠HBF+∠CBF=∠ABC+∠CBF=90°，故知BC⊥BH，又因為N是BC中點，M是HC中點，可得MN‖BH，于是證明出BC⊥MN．
點評：本題主要考查正方形的性質和全等三角形的判定與性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握正方形的性質和旋轉的性質，此題比較麻煩．