Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AF交CD于點E ， 交BC的延長線于點F ．

（1）求證：BF=CD；
（2）連接BE ， 若BE⊥AF ， ∠F=60°， ，求 的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵ 四邊形ABCD為平行四邊形，

∴ AB=CD，AD∥BC．

∴∠F=∠1．

又∵ AF平分∠BAD，

∴∠2=∠1．

∴∠F=∠2．

∴AB=BF．

∴BF=CD．

（2）

解：∵AB=BF，∠F=60°，

∴△ABF為等邊三角形．

∵BE⊥AF，∠F=60°，

∴∠BEF=90°，∠3=30°．

在Rt△BEF中，設 ，則 ，

∴ ．

∴ ．

∴AB=BF=4．

【解析】（1）已知四邊形ABCD為平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得AB=CD，AD∥BC，所以∠F=∠1．再由AF平分∠BAD，可得∠2=∠1．所以∠F=∠2，根據等腰三角形的判定可得AB=BF，即可得BF=CD；
（2）根據AB=BF，∠F=60°判定△ABF為等邊三角形，由等腰三角形的性質判定△BEF為Rt△，在Rt△BEF根據勾股定理即可求解.