Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，以點C(0，4)為圓心，半徑為4的圓交y軸正半軸于點A，AB是⊙C的切線．動點P從點A開始沿AB方向以每秒1個單位長度的速度運動，點Q從O點開始沿x軸正方向以每秒4個單位長度的速度運動，且動點P、Q從點A和點O同時出發，設運動時間為t(秒)．

（1）當t＝1時，得到P1、Q1，求經過A、P1、Q1三點的拋物線解析式及對稱軸l；

（2）當t為何值時，直線PQ與⊙C相切？并寫出此時點P和點Q的坐標；

（3）在(2)的條件下，拋物線對稱軸l上存在一點N，使NP＋NQ最小，求出點N的坐標并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝， l：x＝；（2）t=2時，PQ與⊙C相切，P（2，8），Q（8，0）；（3）N（1，7），理由見解析．

【解析】

（1）先求出t＝1時P1，Q1的坐標，然后用待定系數法即可得出拋物線的解析式，進而可求出對稱軸l的解析式；

（2）當直線PQ與圓C相切時，連接CP，CQ，根據平行線的性質、角平分線的性質和三角形的內角和可得∠PCQ＝90°，則有Rt△CMP∽Rt△QMC（M為PQ與圓C的切點），然后根據相似三角形的性質即可求出t的值；

（3）本題是典型的“將軍飲馬”問題，解題的關鍵是確定N的位置，可先利用待定系數法求出此時拋物線的解析式，然后作出P點關于直線l的對稱點P′的坐標，連接P′Q，那么P′Q與直線l的交點即為所求的N點，至此只要求出直線P′Q的解析式，即可求出N點的坐標，問題即得解決．

解：（1）當t＝1時，AP1=1，OQ1=4，則A、P1、Q1的坐標分別為A（0，8）、P1（1，8）、Q1（4，0），

設所求拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，則，解得：

∴拋物線的解析式為y＝，對稱軸為直線l：x＝；

（2）設PQ與⊙C相切于點M，如圖1，連接CP、CM、CQ，則PA＝PM＝t，QO＝QM＝4t，

∵CP、CQ分別平分∠APQ和∠OQP，∴，，

∵∠APQ+∠OQP＝180°，∴∠CPQ+∠CQP=90°，

∴∠PCQ＝=90°，

∵CM⊥PQ，∴可得Rt△CMP∽Rt△QMC，

∴，即，∴t=±2，

由于時間t只能取正數，所以t=2，即當運動時間t=2秒時，PQ與⊙C相切．

此時：P（2，8），Q（8，0）；

（3）∵A（0，8），P（2，8），Q（8，0），∴設此時拋物線的解析式為，

把A，P，Q代入，得：，解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝，此時拋物線的對稱軸為直線l：x＝1，

作點P關于直線l的對稱點P'，如圖2，則P'（0，8），即為點A，設P'Q與直線x＝1交于點N，則此時NP＋NQ最小，

∵P'（0，8），Q（8，0），∴直線P'Q的解析式為：y＝﹣x+8，當x＝1時，y＝﹣1+8＝7．

因此N點的坐標為（1，7）．