Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=1，點D，E在直線BC上運動．設BD=x，CE=y
（l）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，求證：△ADB∽△EAC；
（2）在（1）的條件下，試確定y與x之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）根據等腰三角形中，等邊對等角可得：∠ABC=75°，根據三角形的外角的性質可得：∠ABC=∠D+∠DAB=75°，而∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=105°-30°=75°，即可得到∠D=∠CAE．同理：∠DAB=∠E，則根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似，即可證得；
（2）根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求得函數解析式．

解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-∠BAC

2

=75°．
∵∠ABC=∠D+∠DAB=75°
∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=105°-30°=75°
∴∠D=∠CAE．
同理：∠DAB=∠E．
∴△ADB∽△EAC．

（2）解：∵△ADB∽△EAC，
∴

AC

BD

=

CE

AB

，
∴

1

x

=

y

1

，
∴y=

1

x

．

點評：本題考查了等腰三角形的性質，以及三角形的外角的性質，關鍵是證得∠D=∠CAE．