Question

【題目】如圖1，△ABC的邊BC的中垂線DM交∠BAC的平分線AD于D， DE⊥AB于點E，DF⊥AC于F.連接DB、DC

（1）求證：△DBE≌△DFC.

（2）求證：AB+AC=2AE

（3）如圖2，若△ABC的邊BC的中垂線DM交∠BAC的外角平分線AD于D， DE⊥AB于點E，且AB>AC，寫出AE、BE、AC之間的等量關系。（不需證明，只需在圖2中作出輔助線、說明證哪兩個三角形全等即可）。

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）BE=AE+AC

【解析】試題分析：（1）根據線段垂直平分線的性質得到DB=DC，根據角平分線的性質得到DE=DF，由全等三角形的判定定理即可得到結論；

（2）根據全等三角形的性質得到AE=AF，BE=CF，等量代換即可得到結論；

（3）如圖2，過D作DN⊥AC，垂足為N，連接DB、DC，根據線段垂直平分線的性質和角平分線的性質得到DN=DE，DB=DC，推出Rt△DBE≌Rt△DCN（HL），根據全等三角形的性質得到BE=CN，由于Rt△DEA≌Rt△DNA（HL），根據全等三角形的性質得到AN=AE，等量代換即可得到結論．

（1）證明：∵DM垂直平分BC，

∴DB=DC，

∵∠1=∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

在Rt△DEB與Rt△DFC中，

，

∴Rt△DEB≌Rt△DFC；

（2）∵∠AED=∠AFD=90°，

在Rt△ADE≌Rt△ADF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE=AF，

又∵Rt△DEB≌Rt△DFC，

∴BE=CF，

∴AB+AC=AE+BE+AF﹣CF=2AE；

（3）BE=AE+AC．

證明：如圖2，過D作DN⊥AC，垂足為N，連接DB、DC，

則DN=DE，DB=DC，

又∵DE⊥AB，DN⊥AC，

∴∠DEB=∠DNC=90°，

在Rt△DBE和Rt△DCN中，

，

∴Rt△DBE≌Rt△DCN（HL）

∴BE=CN，

在Rt△DEA和Rt△DNA中，

，

∴Rt△DEA≌Rt△DNA（HL），

∴AN=AE，

∴BE=AC+AN=AC+AE，

即BE=AE+AC．