Question

【題目】如圖，已知銳角△ABC內接于⊙O，連接AO并延長交BC于點D．

（1）求證：∠ACB+∠BAD=90°；

（2）過點D作DE⊥AB于E，若∠ADC=2∠ACB，AC=4，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2.

【解析】

（1）如圖1中，延長AD交⊙O于點F，連接BF．首先證明∠ABF=90°，再證明∠AFB=∠C即可解決問題．

（2）如圖2中，過點O作OH⊥AC于H，連接BO．想辦法證明△BDE≌△AOH即可解決問題.

（1）證明：延長AD交⊙O于點F，連接BF．

∵AF為⊙O的直徑，

∴∠ABF=90°，

∴∠AFB+∠BAD=90°，

∵∠AFB=∠ACB，

∴∠ACB+∠BAD=90°．

（2）證明：如圖2中，過點O作OH⊥AC于H，連接BO．

∵∠AOB=2∠ACB，

∠ADC=2∠ACB，

∴∠AOB=∠ADC，

∴∠BOD=∠BDO，

∴BD=BO，

∴BD=OA，

∵∠BED=∠AHO，∠ABD=∠AOH，

∴△BDE≌△AOH，（AAS），

∴DE=AH，

∵OH⊥AC，

∴AH=CH=AC，

∴AC=2DE=4，

∴DE=2．