Question

某課題學習小組在一次活動中對三角形的內接正方形的有關問題進行了探討：
定義：如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上，那么我們就把這個正方形叫做三角形的內接正方形．
結論：在探討過程中，有三位同學得出如下結果：
甲同學：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在

 

個、

 

個、

 

個大小不同的內接正方形．
乙同學：在直角三角形中，兩個頂點都在斜邊上的內接正方形的面積較大．
丙同學：在不等邊銳角三角形中，兩個頂點都在較大邊上的內接正方形的面積反而較小．
任務：（1）填充甲同學結論中的數據；
（2）乙同學的結果正確嗎？若不正確，請舉出一個反例并通過計算給予說明，若正確，請給出證明；
（3）請你結合（2）的判定，推測丙同學的結論是否正確，并證明．

Answer 1

分析：（1）分別畫一下即可得出答案；
（2）先判斷，再舉一個例子；例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，則AC=

2

．
（3）先判斷，再舉一個例子：設△ABC的三條邊分別為a，b，c，不妨設a＞b＞c，三條邊上的對應高分別為h_a，h_b，h_c，內接正方形的邊長分別為x_a，x_b，x_c．

解答：解：（1）1，2，3．（3分）

（2）乙同學的結果不正確．（4分）
例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，則AC=

2

．
如圖①，四邊形DEFB是只有一個頂點在斜邊上的內接正方形．
設它的邊長為a，則依題意可得：

a

1

=

1-a

1

，∴a=

1

2

，
如圖②，四邊形DEFH兩個頂點都在斜邊上的內接正方形．
設它的邊長為b，則依題意可得：

b

2

=

2 2 -b

2 2

，∴b=

2

3

．
∴a＞b．（7分）

（3）丙同學的結論正確．
設△ABC的三條邊分別為a，b，c，不妨設a＞b＞c，三條邊上的對應高分別為h_a，h_b，h_c，內接正方形的邊長分別為x_a，x_b，x_c．
依題意可得：

xa

a

=

ha-xa

ha

，∴x_a=

aha

a+ha

．同理x_b=

bhb

b+hb

．
∵x_a-x_b=

aha

a+ha

-

bhb

b+hb

=

2S

a+ha

-

2S

b+hb

=2S（

1

a+ha

-

1

b+ hb

）
=

2S

(a+ha)(b+hb)

（b+h_b-a-h_a）．
=

2S

(a+ha)(b+hb)

（b+

2S

b

-a-

2S

a

）．
=

2S

(a+ha)(b+hb)

•（b-a）（1-

2S

ab

）．
=

2S

(a+ha)(b+hb)

•（b-a）（1-

ha

b

）．

又∵b＜a，h_a＜b，∴（b-a）（1-

ha

b

）＜0，
∴x_a＜x_b，即x_a²＜x_b²．
∴在不等邊銳角三角形中，兩個頂點都在較大邊上的內接正方形的面積反而較小．（10分）

點評：本題是一道難度較大的題目，考查了相似三角形的判定和性質以及正方形的性質，舉出例子是解此題的關鍵．