Question

某課題學習小組在一次活動中對三角形的內(nèi)接正方形的有關(guān)問題進行了探討：
定義：如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上，那么我們就把這個正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形．
結(jié)論：在探討過程中，有三位同學得出如下結(jié)果：
甲同學：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在

1

個、

2

個、

3

個大小不同的內(nèi)接正方形．
乙同學：在直角三角形中，兩個頂點都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大．
任務：（1）填充甲同學結(jié)論中的數(shù)據(jù)；
（2）乙同學的結(jié)果正確嗎？若不正確，請舉出一個反例并通過計算給予說明，若正確，請給出證明．

Answer 1

分析：（1）分別畫一下即可得出答案；
（2）先判斷，再舉一個例子；例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，則AC=

2

．

解答：解：（1）1，2，3．…（3分）


（2）乙同學的結(jié)果不正確．
例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，則AC=

2

，
如圖①，四邊形DEFB是只有一個頂點在斜邊上的內(nèi)接正方形，
設它的邊長為a，則依題意可得：

a

1

=

1-a

1

，
解得：a=

1

2

．
如圖②，四邊形DEFH兩個頂點都在斜邊上的內(nèi)接正方形，
設它的邊長為b，則依題意可得：

b

2

=

2 2 -b

2 2

，
解得：b=

2

3

∵a＞b，
∴乙同學的結(jié)果不正確．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，舉出例子是解此題的關(guān)鍵，本題難度較大，注意第一題可以動手畫一下．