Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，點O是AB邊上一點，以O為圓心作⊙O且經過A，D兩點，交AB于點E．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）AC=2，AB=6，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3．

【解析】試題分析：（1）連接OD，根據角平分線的定義和等腰三角形的性質證明OD∥AC，根據平行線的性質得到∠BOD=90°，根據切線的判定定理證明；

（2）由OD∥AC可證△BDO∽△BCA，由相似三角形的性質得．設OD=r，則BO=6﹣r，代入比例式求出r，從而求出BE的值.

（1）證明：連結OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．

∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC．

∵∠ACB=90°，∴∠ODB=90°．

即OD⊥BC于D，∴BC是⊙O的切線．

（2）∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，∴ ．

∵AC=2，AB=6，∴設OD=r，則BO=6﹣r，∴ ．

解得r=，∴AE=3，∴BE=3．