Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系xOy中，若A（0，4）、B（1，0）且以AB為直角邊作等腰Rt△ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC．

（1）如圖1，求C點坐標；

（2）如圖2，在圖1中過C點作CD⊥x軸于D，連接AD，求∠ADC的度數；

（3）如圖3，點A在y軸上運動，以OA為直角邊作等腰Rt△OAE，連接EC，交y軸于F，試問A點在運動過程中S△AOB：S△AEF的值是否會發生變化？如果沒有變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（4，5）；（2）45°；（3）A點在運動過程中S△AOB：S△AEF的值不會發生變化，理由見解析

【解析】

（1）先判斷△AOB≌△CGA，求出CE＝OA＝4，AG＝OB＝1，即可得出結論；

（2）由（1）知C（4，5），可求出OD＝4，進而OA＝OD，得出∠OAD＝45°，最后用平行線的性質即可得出結論；

（3）先判斷點E在y軸的左側，再分點A在y軸正半軸和負半軸上，同（1）的方法求出點C坐標，用待定系數法求出直線CE的解析式，進而求出點F的坐標，即可得出結論．

（1）如圖①，

∵A（0，4）、B（1，0），

∴OA＝4，OB＝1，過點C作CG⊥y軸于G，

∴∠AGC＝90°＝∠BOA，

∴∠OAB+∠OBA＝90°

∵∠CAB＝90°，

∴∠OAB+∠GAC＝90°，

∴∠OBA＝∠GAC，

∵AB＝AC，

∴△AOB≌△CGA（AAS），

∴CG＝OA＝4，AG＝OB＝1，

∴OG＝OA+AG＝5，

∴C（4，5）；

（2）由（1）知，OA＝4，點C（4，5），

∵CD⊥x軸，

∴點D（4，0），

∴OD＝4，

∴OA＝OD，

∠OAD＝45°，

∵CD⊥x軸，

∴CD∥y軸，

∴∠ADC＝∠OAD＝45°；

（3）A點在運動過程中S△AOB：S△AEF的值不會發生變化，

理由：設點A的坐標為（0，a），

①當點A在y軸正半軸上時，連接CE交y軸于F，

∴點C，E在y軸的兩側，即點E在y軸左側，

同（1）的方法得，C（a，a+1），

∵△OAE是等腰直角三角形，

∴AE⊥OA，

∴E（﹣a，a），

∴直線CE的解析式為y＝x+a+，

∴F（0，a+），

∴AF＝a+-a＝，

∵OB＝1，

∴===＝2；

②當點A在y軸負半軸上時，同①的方法得，C（﹣a，a﹣1），E（a，a），

∴直線CE的解析式為y＝x+a-，

∴F（0，a-），

∴AF＝，

∴∴===＝2；

即A點在運動過程中S△AOB∶S△AEF的值不會發生變化．