Question

【題目】【問題提出】

學習了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”) 和直角三角形全等的判定方法(即“HL”) 后, 我們繼續對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究.

【初步思考】

不妨將問題用符號語言表示為: 在△ABC和△DEF中, AC = DF, BC = EF, ∠B =∠E,

然后, 對∠B進行分類, 可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究.

【深入探究】

第一種情況: 當∠B是直角時, △ABC≌△DEF.

(1) 如圖①, 在△ABC和△DEF, AC = DF, BC = EF, ∠B =∠E = 90°, 根據_____________, 可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.

第二種情況: 當∠B是鈍角時, △ABC≌△DEF.

　

(2) 如圖②, 在△ABC和△DEF, AC = DF, BC = EF, ∠B =∠E, 且∠B、∠E都是鈍角.

求證: △ABC≌△DEF.

第三種情況: 當∠B是銳角時, △ABC和△DEF不一定全等.

　

(3) 在△ABC和△DEF, AC = DF, BC = EF, ∠B = ∠E, 且∠B、∠E都是銳角, 請你用尺規在圖③中作出△DEF, 使△DEF和△ABC不全等. (不寫作法, 保留作圖痕跡)

(4) ∠B還要滿足什么條件, 就可以使△ABC≌△DEF ? 請直接寫出結論: 在△ABC和△DEF中, AC = DF, BC = EF, ∠B =∠E, 且∠B、∠E都是銳角, 若__________, 則△ABC≌△DEF.

Answer 1

【答案】(1) HL(2)證明見解析(3) △DEF和△ABC不全等(4) 若∠B ≥∠A, 則△ABC≌△DEF

【解析】試題分析：（1）根據直角三角形全等的方法“HL”證明；

（2）過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，根據等角的補角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據全等三角形對應邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據全等三角形對應角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等；

（3）以點C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點D，E與B重合，F與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；

（4）根據三種情況結論，∠B不小于∠A即可．

試題解析：（1）解：HL；

（2）證明：如圖，過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，

∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，

∴180°-∠B=180°-∠E，

即∠CBG=∠FEH，

在△CBG和△FEH中，

∴△CBG≌△FEH（AAS），

∴CG=FH，

在Rt△ACG和Rt△DFH中，

AC=DF，CG=FH

∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），

∴∠A=∠D，

在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（AAS）；

（3）解：如圖，△DEF和△ABC不全等；

（4）解：若∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF．