Question

兩個反比例函數和在第一象限內的圖象如圖所示，點P在的圖象上，PC⊥x軸于點C，交的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交的圖象于點B，當點P在的圖象上運動時，以下結論：①△ODB與△OCA的面積相等；②四邊形PAOB的面積不會發生變化；③PA與PB始終相等；④當點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點．其中一定正確的是　　．

 

Answer 1

【答案】

①②④

【解析】

試題分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），而A、B兩點都在的圖象上，故有x₁y₁=x₂y₂=1，而S_△ODB=×BD×OD=x₂y₂=，S_△OCA=×OC×AC=x₁y₁=，故①正確；

由A、B兩點坐標可知P（x₁，y₂），P點在的圖象上，故S_矩形OCPD=OC×PD=x₁y₂=k，根據S_{四邊形PAOB}=S_矩形OCPD﹣S_△ODB﹣S_△OCA，計算結果，故②正確；

由已知得x₁y₂=k，即x₁?=k，即x₁=kx₂，由A、B、P三點坐標可知PA=y₂﹣y₁=﹣=，PB=x₁﹣x₂，=（k﹣1）x₂，故③錯誤；

當點A是PC的中點時，y₂=2y₁，代入x₁y₂=k中，得2x₁y₁=k，故k=2，代入x₁=kx₂中，得x₁=2x₂，可知④正確．

解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁y₁=x₂y₂=1，

∵S_△ODB=×BD×OD=x₂y₂=，S_△OCA=×OC×AC=x₁y₁=，故①正確；

（2）由已知，得P（x₁，y₂），

∵P點在的圖象上，

∴S_矩形OCPD=OC×PD=x₁y₂=k，

∴S_{四邊形PAOB}=S_矩形OCPD﹣S_△ODB﹣S_△OCA=k﹣﹣=k﹣1，故②正確；

（3）由已知得x₁y₂=k，即x₁?=k，

∴x₁=kx₂，

根據題意，得PA=y₂﹣y₁=﹣=，PB=x₁﹣x₂，=（k﹣1）x₂，故③錯誤；

（4）當點A是PC的中點時，y₂=2y₁，

代入x₁y₂=k中，得2x₁y₁=k，

∴k=2，

代入x₁=kx₂中，得x₁=2x₂，故④正確．

故本題答案為：①②④．

考點：反比例函數綜合題．

點評：本題考查了反比例函數性質的綜合運用，涉及點的坐標轉化，相等長度的表示方法，三角形、四邊形面積的計算，充分運用雙曲線上點的橫坐標與縱坐標的積等于反比例系數k．