Question

【題目】如圖，直線l上有A、B兩點，點O是線段AB上的一點，且OA=10cm，OB=5cm．

（1）若點C是線段 AB 的中點，求線段CO的長．

（2）若動點 P、Q 分別從 A、B 同時出發，向右運動，點P的速度為4cm/s，點Q的速度為3cm/s，設運動時間為 x 秒，

①當 x=__________秒時，PQ=1cm；

②若點M從點O以7cm/s的速度與P、Q兩點同時向右運動，是否存在常數m，使得4PM+3OQ﹣mOM為定值，若存在請求出m值以及這個定值；若不存在，請說明理由．

（3）若有兩條射線 OC、OD 均從射線OA同時繞點O順時針方向旋轉，OC旋轉的速度為6度/秒，OD 旋轉的速度為2度/秒.當OC與OD第一次重合時，OC、OD 同時停止旋轉，設旋轉時間為t秒，當t為何值時，射線 OC⊥OD？

Answer 1

【答案】（1）CO=2.5；（2）①14和16 ；②定值55，理由見解析；（3）t=22.5和67.5

【解析】

（1）先求出線段AB的長，然后根據線段中點的定義解答即可；

（2）①由PQ=1，得到|15-（4x-3x）|=1，解方程即可；

②先表示出PM、OQ、OM的長，代入4PM+3OQ﹣mOM得到55+（21-7m）x，要使4PM+3OQ﹣mOM為定值，則21-7m=0，解方程即可；

（3）分兩種情況討論，畫出圖形，根據圖形列出方程，解方程即可．

（1）∵OA=10cm，OB=5cm，∴AB=OA+OB=15cm．

∵點C是線段 AB 的中點，∴AC=AB=7.5cm，∴CO=AO-AC=10-7.5=2.5（cm）．

（2）①∵PQ=1，∴|15-（4x-3x）|=1，∴|15-x|=1，∴15-x=±1，解得：x=14或16．

②∵PM=10+7x-4x=10+3x，OQ=5+3x，OM=7x，∴4PM+3OQ﹣mOM=4（10+3x）+3（5+3x）-7mx=55+（21-7m）x，要使4PM+3OQ﹣mOM為定值，則21-7m=0，解得：m=3，此時定值為55．

（3）分兩種情況討論：①如圖1，根據題意得：6t-2t=90，解得：t=22.5；

②如圖2，根據題意得：6t+90=360+2t，解得：t=67.5．

綜上所述：當t=22.5秒和67.5秒時，射線 OC⊥OD．