Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于與坐標軸不平行的直線l和點P，給出如下定義：過點P作x軸，y軸的垂線，分別交直線l于點M，N，若PM+PN≤4，則稱P為直線l的近距點，特別地，直線上l所有的點都是直線l的近距點．已知點A(-，0)，B(0，2)，C(-2，2)．

（1）當直線l的表達式為y=x時，

①在點A，B，C中，直線l的近距點是 ；

②若以OA為邊的矩形OAEF上所有的點都是直線l的近距點，求點E的縱坐標n的取值范圍；

（2）當直線l的表達式為y=kx時，若點C是直線l的近距點，直接寫出k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①A，B；②n的取值范圍是，且;(2) .

【解析】（1）①根據PM+PN≤4，進行判斷；②當PM+PN=4時，可知點P在直線l1：，直線l2：上．所以直線l的近距點為在這兩條平行線上和在這兩條平行線間的所有點．分兩種情況EF在OA上方，當點E在直線l1上時，n的值最大；EF在OA下方，當點F在直線l2上時，n的值最小，當時，EF與AO重合，矩形不存在，所以可以分析出n的取值范圍；

（2）根據定義，結合圖形可推出：．

解：（1）①A，B；

②當PM+PN=4時，可知點P在直線l1：，直線l2：上．所以直線l的近距點為在這兩條平行線上和在這兩條平行線間的所有點．

如圖1，EF在OA上方，當點E在直線l1上時，n的值最大，為．

如圖2，EF在OA下方，當點F在直線l2上時，n的值最小，為．

當時，EF與AO重合，矩形不存在．

綜上所述，n的取值范圍是，且．

（2）．