Question

【題目】如圖，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點．

（1）如圖1，寫出點D到△ABC三個頂點A，B，C的距離的關系（直接寫出結論）；

（2）如圖1，點E，F分別是AB，AC上的點，且BE=AF，求證：△DEF是等腰直角三角形；

（3）若點E，F分別是AB，CA的延長線上的點，仍有BE=AF，其他條件不變，請判斷△DEF的形狀？（直接寫結論）．

Answer 1

【答案】（1）點D到三個頂點的距離相等；（2）見解析；（3）△DEF是等腰直角三角形

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質及判定即可知CD＝BD＝AD；

（2）根據△ABC是等腰直角三角形以及等腰三角形“三線合一”的性質，證明△ADF≌△BDE（SAS），得到DF=DE，∠ADF=∠BDE，等量代換得到∠EDF=90°即可證明；

（3）作出圖形，根據△ABC是等腰直角三角形以及等腰三角形“三線合一”的性質，證明△ADF≌△BDE（SAS），得到DF=DE，∠ADF=∠BDE，等量代換得到∠EDF=90°即可解答．

解：（1）如圖，連接AD，

∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，D為BC的中點，

∴∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=45°，BD=CD，

∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，

∴AD=BD，AD=CD，
∴CD＝BD＝AD，
即點D到三個頂點的距離相等；

（2）如（1）中，連接AD，

∵AB=AC，∠A=90°，D為BC的中點，

∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，∠B=∠C=45°，

∴∠CAD=∠B=45°，

又∵AD=BD，

∴在△ADF與△BDE中，

AD=BD，∠DAF=∠DBE，AF=BE，

∴△ADF≌△BDE（SAS），

∴DF=DE，∠ADF=∠BDE，

∵∠BDE+∠ADE=90°，

∴∠ADF+∠ADE=90°，即∠EDF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形；

（3）△DEF是等腰直角三角形，

理由：如圖所示，連接AD，

∵AB=AC，∠A=90°，D為BC的中點，

∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，∠ABC=∠C=45°，

∴180°-∠CAD=180°-∠ABC，即∠DAF=∠DBE，

又∵AD=BD，

∴在△ADF與△BDE中，

AD=BD，∠DAF=∠DBE，AF=BE，

∴△ADF≌△BDE（SAS），

∴DF=DE，∠ADF=∠BDE，

∵∠ADF+∠BDF=90°，

∴∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形；