Question

【題目】如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．

(1)求證：四邊形EFDG是菱形；

(2)連接DE，交AF與O點，試探究線段EG、GF、AF之間的數量關系，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）EG2=GFAF，理由詳見解析．

【解析】

（1）依據翻折的性質和平行線的性質證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，根據翻折的性質可證明DG=GE=DF=EF，即可證明四邊形EFDG是菱形；（2）連接DE，交AF于點O．由菱形的性質可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下來，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質可證明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的數量關系.

（1）∵GE∥DF，

∴∠EGF=∠DFG．

∵由翻折的性質可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，

∴∠DGF=∠DFG．

∴GD=DF．

∴DG=GE=DF=EF．

∴四邊形EFDG為菱形．

（2）EG2=GFAF．

證明：如圖，連接DE，交AF于點O．

∵四邊形EFDG為菱形，

∴GF⊥DE，OG=OF= GF．

∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴ ，即DF2=FOAF．

∵FO=GF，DF=EG，

∴EG2=GFAF．