Question

【題目】（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC邊上的任意一點（不含端點B，C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，并連結CN．求證：AB＝CN+CM．

（2）（類比探究）如圖2，在等邊△ABC中，若點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，則AB＝CN+CM是否還成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出AB，CN，CM三者之間的數量關系，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）不成立，AB＝CN﹣CM，見解析

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，AM＝MN＝AN，∠MAN＝∠AMN＝∠ANM＝60°，證明△BAM≌△CAN，根據全等三角形的性質、結合圖形證明結論；

（2）仿照（1）的證明過程解答即可．

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，

∵△AMN是等邊三角形，

∴AM＝MN＝AN，∠MAN＝∠AMN＝∠ANM＝60°，

∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，

在△BAM和△CAN中，，

∴△BAM≌△CAN（SAS）

∴BM＝CN，

∴AB＝BC＝BM+CM＝CN+CM；

（2）解：AB＝CN+CM不成立，AB＝CN﹣CM，

由（1）可知，∠BAC＝∠MAN

∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，

在△BAM和△CAN中，，

∴△BAM≌△CAN（SAS）

∴BM＝CN，

∴AB＝BC＝BM﹣CM＝CN﹣CM．