Question

如圖， Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E為BC邊的中點，連接DE.
（1）求證：DE與⊙O 相切.
（2）若tanC=，DE=2，求AD的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）連接OD，BD，求出∠ADB＝∠BDC＝90°，推出DE＝BE＝CE，推出∠EDB＝∠EBD，∠OBD＝∠ODB，推出∠EDO＝∠EBO＝90°即可.
（2）由∠BDC=90°，E為BC邊的中點可得BC=4，在Rt△ABC中，由tanC＝可得AB=2，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=6，由△ABD∽△ACB可求得AD=.
試題解析：（1）如圖，連接BD、OD，
∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=∠BDC=90°.
∵E為BC邊的中點，∴DE=EC．∴∠1=∠C.
∵OA=OD，∴∠2=∠A.
∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C =90°．∴∠1+∠2 =90°.
∴∠ODE =90°．∴OD⊥DE于點D.
∵以AB為直徑的⊙O交AC于點D，∴D是半徑的外端.
∴DE與⊙O 相切．
（2）∵∠BDC=90°，E為BC邊的中點，∴.
∵DE=2，∴BC=4.
在Rt△ABC中，tanC=，∴AB=BC·=2.
在Rt△ABC中，AC=，
又∵△ABD∽△ACB，∴，即.
∴AD=.