Question

【題目】已知：如圖，在菱形ABCD 中，點E，O，F分別是邊AB，AC，AD的中點，連接CE、CF、OE、OF．

（1）求證：△BCE≌△DCF；

（2）當AB與BC滿足什么條件時，四邊形AEOF正方形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AB⊥BC時，四邊形AEOF正方形．

【解析】

（1）根據中點的定義及菱形的性質可得BE=DF，∠B=∠D，BC=CD，利用SAS即可證明△BCE≌△DCF；

（2）由中點的定義可得OE為△ABC的中位線，根據三角形中位線的性質可得OE//BC，根據正方形的性質可得∠AEO=90°，根據平行線的性質可得∠ABC=∠AEO=90°，即可得AB⊥BC，可得答案．

（1）∵四邊形ABCD是菱形，點E，O，F分別是邊AB，AC，AD的中點，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，

∵點E、F分別是邊AB、AD的中點，

∴BE=AB，DF=AD，

∴BE=DF，

在△BCE和△DCF中，，

∴△BCE≌△DCF．

（2）AB⊥BC，理由如下：

∵四邊形AEOF是正方形，

∴∠AEO=90°，

∵點E、O分別是邊AB、AC的中點，

∴OE為△ABC的中位線，

∴OE//BC，

∴∠B=∠AEO=90°，

∴AB⊥BC．