Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABOC的兩直角邊分別在坐標軸的正半軸上，分別過OB，OC的中點D，E作AE，AD的平行線，相交于點F， 已知OB=8．

（1）求證：四邊形AEFD為菱形．

（2）求四邊形AEFD的面積．

（3）若點P在x軸正半軸上(異于點D)，點Q在y軸上，平面內是否存在點G，使得以點A，P， Q，G為頂點的四邊形與四邊形AEFD相似？若存在，求點P的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）48；（3）點P的坐標為(12，0)，(24，0)，(，0)，(，0)，(16，0)

【解析】

（1）結合正方形性質求得△ACE≌△ABD，從而得到AE=AD，根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．
（2）連接DE，求出△ADE的面積即可解決問題．
（3）首先證明AK=3DK，①當AP為菱形的一邊，點Q在x軸的上方，有圖2，圖3兩種情形．②當AP為菱形的邊，點Q在x軸的下方時，有圖4，圖5兩種情形．③如圖6中，當AP為菱形的對角線時，有圖6一種情形．分別利用相似三角形的性質求解即可．

（1）∵DF∥AE，EF∥AD，

∴四邊形AEFD是平行四邊形.

∵四邊形ABOC是正方形，

∴OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝90°.

∵點D，E是OB，OC的中點，

∴CE＝BD，

∴△ACE≌△ABD(SAS)，

∴AE＝AD，

∴是菱形

（2）如圖1，連結DE

∵S△ABD＝AB·BD＝， S△ODE＝OD·OE＝，

∴S△AED＝S正方形ABOC－2 S△ABD－ S△ODE＝64－2－8＝24，

∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48

（3）由圖1，連結AF與DE相交于點K，易得△ADK的兩直角邊之比為1:3

1）當AP為菱形一邊時，點Q在x軸上方，有圖2、圖3兩種情況：

如圖2，AG與PQ交于點H，

∵菱形PAQG∽菱形ADFE，

∴△APH的兩直角邊之比為1:3

過點H作HN⊥x軸于點N，交AC于點M，設AM=t

∵HN∥OQ，點H是PQ的中點，

∴點N是OP中點，

∴HN是△OPQ的中位線，

∴ON＝PN＝8－t

又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠AMH＝90°，

∴△HMA∽△PNH，

∴＝＝ ，

∴HN＝3AM＝3t，

∴MH＝MN－NH＝8－3t.

∵PN＝3MH，

∴8－t =3(8－3t)，解得t＝2

∴OP＝2ON＝2(8－t)＝12

∴點P的坐標為(12，0)

如圖3，△APH的兩直角邊之比為1:3

過點H作HI⊥y軸于點I，過點P作PN⊥x軸交IH于點N，延長BA交IN于點M

∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠AMH＝∠PNH，

∴△AMH∽△HNP，

∴＝＝，設MH＝t，

∴PN＝3MH＝3t，

∴AM＝BM－AB＝3t－8，

∴HN＝3AM＝3(3t－8) ＝9t－24

又∵HI是△OPQ的中位線，

∴OP＝2IH，

∴HI＝HN，

∴8＋t＝9t－24，解得 t＝4

∴OP＝2HI＝2(8＋t)＝24，

∴點P的坐標為(24，0)

2）當AP為菱形一邊時，點Q在x軸下方，有圖4、圖5兩種情況：

如圖4，△PQH的兩直角邊之比為1:3

過點H作HM⊥y軸于點M，過點P作PN⊥HM于點N

∵MH是△QAC的中位線，

∴HM＝＝4

又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠HMQ＝∠N，

∴△HPN∽△QHM，

∴＝＝，則PN＝＝，

∴OM＝

設HN＝t，則MQ＝3t

∵MQ＝MC，

∴3t＝8－，解得t＝

∴OP＝MN＝4＋t＝，

∴點P的坐標為(，0)

如圖5，△PQH的兩直角邊之比為1:3

過點H作HM⊥x軸于點M，交AC于點I，過點Q作NQ⊥HM于點N

∵IH是△ACQ的中位線，

∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4

∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PMH＝∠QNH，

∴△PMH∽△HNQ，

∴＝＝＝，則MH＝NQ＝

設PM＝t，則HN＝3t，

∵HN＝HI，

∴3t＝8+，解得 t＝

∴OP＝OM－PM＝QN－PM＝4－t＝，

∴點P的坐標為(，0)

3）當AP為菱形對角線時，有圖6一種情況：

如圖6，△PQH的兩直角邊之比為1:3

過點H作HM⊥y軸于點M，交AB于點I，過點P作PN⊥HM于點N

∵HI∥x軸，點H為AP的中點，

∴AI＝IB＝4，

∴PN＝4

∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠QMH＝90°，

∴△PNH∽△HMQ，

∴＝＝＝，則MH＝3PN＝12，HI＝MH－MI＝4

∵HI是△ABP的中位線，

∴BP＝2HI＝8，即OP＝16，

∴點P的坐標為(16，0)

綜上所述，點P的坐標為(12，0)，(24，0)，(，0)，(，0)，(16，0)．