Question

【題目】拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸正半軸交于點C.

（1）如圖1，若A（－1，0），B（3，0），

① 求拋物線的解析式；

② P為拋物線上一點，連接AC，PC，若∠PCO=3∠ACO，求點P的橫坐標；

（2）如圖2，D為x軸下方拋物線上一點，連DA，DB，若∠BDA+2∠BAD=90°，求點D的縱坐標.

Answer 1

【答案】（1）①y=-x2+2x+3②（2）-1

【解析】（1）①把A、B的坐標代入解析式，解方程組即可得到結論；

②延長CP交x軸于點E，在x軸上取點D使CD=CA，作EN⊥CD交CD的延長線于N．由CD=CA ，OC⊥AD，得到∠DCO=∠ACO．由∠PCO=3∠ACO，得到∠ACD=∠ECD，從而有tan∠ACD=tan∠ECD，

，即可得出AI、CI的長，進而得到．設EN=3x，則CN=4x，由tan∠CDO=tan∠EDN，得到，故設DN=x，則CD=CN-DN=3x=，解方程即可得出E的坐標，進而求出CE的直線解析式，聯立解方程組即可得到結論；

（2）作DI⊥x軸，垂足為I．可以證明△EBD∽△DBC，由相似三角形對應邊成比例得到，

即，整理得．令y=0，得：．

故，從而得到．由，得到，解方程即可得到結論．

（1）①把A（－1，0），B（3，0）代入得：

，解得：，

∴

②延長CP交x軸于點E，在x軸上取點D使CD=CA，作EN⊥CD交CD的延長線于N．

∵CD=CA ，OC⊥AD，∴ ∠DCO=∠ACO．

∵∠PCO=3∠ACO，∴∠ACD=∠ECD，∴tan∠ACD=tan∠ECD，

∴，AI=，

∴CI=，∴．

設EN=3x，則CN=4x．

∵tan∠CDO=tan∠EDN，

∴，∴DN=x，∴CD=CN-DN=3x=，

∴，∴DE= ，E(，0)．

CE的直線解析式為：，

，解得：．

點P的橫坐標 ．

（2）作DI⊥x軸，垂足為I．

∵∠BDA+2∠BAD=90°，∴∠DBI+∠BAD=90°．

∵∠BDI+∠DBI=90°，∴∠BAD=∠BDI．

∵∠BID=∠DIA，∴△EBD∽△DBC，∴，

∴，

∴．

令y=0，得：．

∴，∴．

∵，

∴，

解得：yD=0或－1．

∵D為x軸下方一點，

∴，

∴D的縱坐標－1 ．