Question

如圖，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，AB⊥CD于M，P是弧AD上任一點，CD=20，CM=4．
（1）求弦AB的長；
（2）求證：∠APB=∠COB．

Answer 1

分析：（1）在直角△OBM中，根據勾股定理即可求得BM的長，則AB=2BM，即可求解；
（2）根據同弧所對的圓周角等于同弧所對圓心角的一半即可求解．

解答：解：（1）∵CD是直徑，且CD=20，
∴OB=OC=10．
∵AB⊥CD，∴BM=

1

2

AB．
在Rt△BMO中，OM=10-CM=6，OB=10，由勾股定理可得，BM=

102-62

=8，（2分）
∴AB=16．（3分）

（2）連接OA，∵AB⊥CD，
∴弧AC=弧BC．
∴∠AOC=∠BOC=

1

2

∠BOA．（5分）
∵∠APB=

1

2

∠BOA，
∴∠APB=∠BOC．（6分）

點評：此題涉及圓中求半徑的問題，此類在圓中涉及弦長、半徑、圓心角的計算的問題，常把半弦長，半圓心角，圓心到弦距離轉換到同一直角三角形中，然后通過直角三角形予以求解，常見輔助線是過圓心作弦的垂線．