Question

（2013•東陽市模擬）如圖，平面直角坐標系中，點A（0，4），B（3，0），D、E在x軸上，F為平面上一點，且EF⊥x軸，直線DF與直線AB互相垂直，垂足為H，△AOB≌△DEF，設BD=h．
（1）若F坐標（7，3），則h=

0

，若F坐標（-10，-3），則DH=

36

5

；
（2）如h=

37

7

，則相對應的F點存在

4

個，并請求出恰好在拋物線y=-

7

12

x2+

5

12

x+4上的點F的坐標；
（3）請求出4個值，滿足以A、H、F、E為頂點的四邊形是梯形．

Answer 1

分析：（1）先根據題意求出DE=4，EF=3，確定點F的位置后可求出OB=3，所以h=BD=0；若F坐標（-10，-3），則OE=10，DE=4，OD=6，再根據△FED∽△BHD中的比例關系

DH

DE

=

BD

FD

來求出DH=

36

5

．
（2）先根據h=

37

7

，求出點D坐標為（-

16

7

，0）或（

58

7

，0）共兩個，因為DH⊥AB，所以滿足條件的DH有2條，每條DH上滿足條件的F點有兩個，所以共有4個．根據△AOB≌△DEF，DE=4，EF=3，可分別求出對應的4個F點的坐標，再分別代入拋物線y=-

7

12

x2+

5

12

x+4中可確定在拋物線上的點F．
（3）根據FH⊥AB，EF⊥x軸可以確定FH與EF不可能平行．所以從AF∥EH和FH∥AE兩個方面進行分析．
當AF∥EH時BD=h，則BH=

3

5

h  BE=4-h，利用△ABO∽△GEB和△GEH∽△GFA得到

GE

GF

=

GH

GA

，代入對應的數值可得3h²-25h+25=0，從而求得h=

25±5 13

6

．
當FH∥AE時，△DEF∽△EAB，此時分兩種情況：一種是點F在第二象限，另一種是點F在第四象限．都可以用△DEF∽△EAB中的

EF

AB

=

DF

BE

作為等量關系，得到關于h的方程，解方程即可求解．

解答：解：∵A（0，4），B（3，0）
∴OA=4  OB=3
∵△AOB≌△DEF
∴DE=4   EF=3
（1）若F坐標（7，3），則 0E=7  EF=3  OD=7-4=3
∵OB=3
∴h=BD=0
若F坐標（-10，-3），如圖，則OE=10  DE=4  OD=6
∴BD=OD+OB=9
∵△FED∽△BHD
∴

DH

DE

=

BD

FD

即

DH

4

=

9

5

∴DH=

36

5

（2）若h=

37

7

，則點D坐標為D₁（-

16

7

，0）或D₂（

58

7

，0），如圖所示，相對應的F點共有4個．

∵OE₁=-4-

16

7

=-

44

7

    OE₂=4-

16

7

=

12

7

  OE₃=3+

37

7

+4=

86

7

    OE₄=3+

37

7

+4=

30

7

∴這4個點的坐標分別是 F₁（-

44

7

，3 ）   F₂（

12

7

，3）F₃（

86

7

，3 ）  F₄（

30

7

，3）
分別把這4個點代入拋物線y=-

7

12

x2+

5

12

x+4中可得點 F₂（

12

7

，3）在拋物線上．
（3）∵FH⊥AB  EF⊥x軸
∴FH與EF不可能平行
①當AF∥EH時，如圖

此時，BD=h，則BH=

3

5

h  BE=4-h
∵△ABO∽△GEB
∴BE：GE：BG=3：4：5
∴BG=

20-5h

3

  GE=

16-4h

3

∵AF∥HE
∴△GEH∽△GFA
∴

GE

GF

=

GH

GA

∴

16-4h 3

3+ 16-4h 3

=

20-5h 3 + 3h 5

5+ 20-5h 3

化簡得：3h²-25h+25=0
解得：h=

25±5 13

6

②當FH∥AE時，如圖△DEF∽△EAB

∴

EF

AB

=

DF

BE

∵BE=BD-DE=h-4
∴

3

5

=

5

h-4

∴h=

37

3

③當FH∥AE時，如圖△DEF∽△EAB

∴

EF

AB

=

DF

BE

∵BE=BD+DE=h+4
∴

3

5

=

5

h+4

∴h=

13

3

綜上可知：滿足以A、H、F、E為頂點的四邊形是梯形的h的4個值分別是

25+5 13

6

，

25-5 13

6

，

37

3

，

13

3

．

點評：本題的難點在第（3）題，要把握住梯形的性質，根據題意確定FH與EF不可能平行，從AF∥EH和FH∥AE兩個方面進行分析是解題的關鍵．在有直角反復出現的圖形中利用直角三角形的全等和相似來得到線段之間的數量關系是常用的方法．