Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= ，D、E是AB邊上的兩個動點，滿足∠DCE=45°．
（1）如圖②，把△ADC繞著點C順時針旋轉90°，得到△BKC，連結EK．
①求證：△DCE≌△KCE．
②求證：DE2=AD2+BE2 ．
③思考與探究：當點D從點A向AB的中點運動的過程中，請嘗試寫出DE長度的變化趨勢 ；并直接寫出DE長度的最大值或最小值 （標明最大值或最小值）．
（2）如圖③，若△CDE的外接圓⊙O分別交AC，BC于點F、G，求證：CF：CG=BE：AD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①如圖1，由旋轉得：△ACD≌△BCK，

∴CD=CK，∠ACD=∠BCK，

∵∠DCE=45°，∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°，

∴∠BCK+∠BCE=45°，

即∠KCE=45°，

∴∠KCE=∠DCE，

∵CE=CE，

∴△DCE≌△KCE（SAS）；

②如圖2，∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A=∠ABC=45°，

∵△DCE≌△KCE，

∴DE=EK，∠KBC=∠A=45°，KB=AD，

∴∠KBE=45°+45°=90°，

在Rt△KBE中，KE2=BE2+KB2，

∴DE2=AD2+BE2；|當D從A到D時，DE越來越小，再繼續運動到中點時，越來越大；|DE最大值=1，DE最小值=2 ﹣2

③∵∠ACB=90°，AC=BC= ，

∴AB= =2，

設AD=x，DE=y，則BE=2﹣x﹣y，

當點D從點A向AB的中點運動的過程中，0≤y≤1，0≤x≤1，AD=BE時，DE最小，如圖2，BE=BK=x，

則x=2﹣x﹣y，

y=2﹣2x，

∵KE2=BE2+KB2，

∴y2=x2+x2，

（2﹣2x）2=2x2，

x2﹣4x+2=0，

解得：x1=2+ （不符合題意，舍去），x2=2﹣ ，

∴y=2﹣2（2﹣ ）=2 ﹣2，

即DE的最小值是：2 ﹣2，

當D與A重合或D與AB的中點重合時，DE最大，最大值是1；

∴DE長度的變化趨勢是：當D從A到D時，DE越來越小，再繼續運動到中點時，越來越大；

故答案為：當D從A到D時，DE越來越小，再繼續運動到中點時，越來越大；DE最大值=1， ；

（2）如圖3，把△ADC繞著點C順時針旋轉90°，得到△BKC，連結EK，EG，

∵D、C、E、G四點共圓，

∴∠EGB=∠CDE，

∵∠DCE=∠EBC=45°，

在△CDE和△GEB中，∴∠CED=∠GEB，

由①得：△CDE≌△CKE，

∴∠CED=∠CEK，

∴∠CEK=∠GEB，

∴∠CEK﹣∠GEK=∠GEB﹣∠GEK，

即∠CEG=∠KEB，

∵∠CEG=∠CFG，

∴∠CFG=∠KEB，

∵∠ACB=∠EBK=90°，

∴△FCG∽△EBK，

∴ ，

由①得：△ACD≌△BCK，

∴AD=BK，

∴CF：CG=BE：AD．

【解析】（1）①由旋轉得：CD=CK，∠ACD=∠BCK，證明∠KCE=∠DCE=45°，根據SAS證明：△DCE≌△KCE；②先求∠KBE=45°+45°=90°，在Rt△KBE中，利用勾股定理可得結論；③如圖2，本題可以看作是周長一定，即直角△EBK的周長為2，斜邊DE的變化趨勢，發現根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可知：DE的大小取決于直角△EBK斜邊中線的大小，當直角△EBK是等腰直角三角形（設兩直角邊分別為a、b時，斜邊為 ，因為a2+b2≥2ab，當a=b時， 有最小值）時，中線最短，由此計算DE的最小值，當D與A重合或D與AB的中點重合時，DE最大，最大值是1；（2）如圖3，同①作輔助線，證明△FCG∽△EBK，列比例式得 ，由①得：△ACD≌△BCK， AD=BK，所以CF：CG=BE：AD．