Question

【題目】定義：一個矩形的兩鄰邊之比為 ，則稱該矩形為“特比矩形”．
（1）如圖①，在“特比矩形”ABCD中， = ，求∠AOD的度數；
（2）如圖②，特比矩形CDEF的邊CD在半圓O的直徑AB上，頂點E、F在半圓上，已知直徑AB= ，求矩形CDEF的面積；
（3）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為 ，點Q的坐標為（q，2 ），如果在⊙O上存在一點P，過點P作x軸的垂線與過點Q作y軸的垂線交于點M，過點P作y軸的垂線與過點Q作x軸的垂線交于點N，以點P、Q、M、N為頂點的矩形是“特比矩形”，請直接寫出q的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖①中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，OA=OC=OD=OB，

∴tan∠ACB= = ，

∴∠ACB=60°，∵OC=OB，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠AOD=∠BOC=60°．

（2）解：如圖②中，連接OE，設DE=a，則CD= a，

∵CF=DE，OE=OF，∠FCO=∠EDO=90°，

∴Rt△FOC≌Rt△EDO，

∴OC=OD= a，

在Rt△OED中，OE= ，

∵OE2=DE2+OD2，

∴ =a2+ a2，

∴a=1（負根已經舍棄），

∴DE=1，CD= ，

∴矩形CDEF的面積=1× = ．

（3）解：如圖③中，

①當點P在x軸正半軸上，易知PM=2 ，

∵四邊形PMQN是“特比矩形”，

∴MQ= PM=6，此時Q（ +6，2 ），

當點P′在y軸的正半軸上時，P′M′= ，

∵四邊形PMQN是“特比矩形”，

∴P′M′= M′Q′，

∴M′Q′=1，

∴Q′（1，2 ），

根據對稱性、觀察圖象可知：點Q的橫坐標q的取值范圍為1≤≤ +6或﹣ ﹣6≤q≤﹣1．

【解析】（1）由tan∠ACB= = ，推出∠ACB=60°，由OC=OB，推出△OBC是等邊三角形即可解決問題．（2）如圖②中，連接OE，設DE=a，則CD= a，由Rt△FOC≌Rt△EDO，推出OC=OD= a，在Rt△OED中，OE= ，根據OE2=DE2+OD2 ， 列出方程即可解決問題．（3）取兩個特殊點，求出點Q的坐標，再根據對稱性即可解決問題．