【題目】在平面直角坐標系
中，對于任意兩點
，
,若點
滿足
，
，則稱點
為點
，
的衍生點.
（1）求點
，
的衍生點；
（2）如圖，已知
是直線
上的一點，
，點是
，的衍生點.
①求
與
的函數關系式；
②若直線
與軸交于點
，是否存在以
為直角邊的
，若存在，求出所有滿足條件的點坐標；若不存在，說明理由.
【答案】（1）點
,
的衍生點是
；（2）①
；②存在以
為直角邊的
,此時滿足條件的點
坐標是
或
.
【解析】
（1）根據衍生點的定義即可求出答案；
（2）①先根據直線
設點B的坐標，再根據衍生點的定義求出點P的坐標，然后化簡即可得出y與x的函數關系式；
②如圖（見解析），分PQ是另一直角邊和PA是另一直角邊兩種情況討論，設點B或點P的坐標，再根據衍生點的定義建立等式求解即可.
（1）由衍生點的定義得：
故點,的衍生點是；
（2）①由題意設：
∵點
是點
的衍生點
∴
,
則
∴
故y與x的函數關系式為；
②存在，求解點B的坐標過程如下：
如圖1，當PQ是另一直角邊時
此時，
由①的結論，設
，則點
由點
是點
的衍生點得：
，
解得：
則
故此時點的坐標為
如圖2，當PA是另一直角邊時
此時，
因為點A的坐標為
所以點P的橫坐標為4，代入得：
則點P的坐標為
設點B的坐標為
由點是點
,的衍生點得：
，
解得：
則
故此時點的坐標為
綜上，存在以為直角邊的，此時滿足條件的點坐標為或.
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，E為CD邊的中點，將△ADE繞點E順時針旋轉180°，點D的對應點為C，點A的對應點為F，過點E作ME⊥AF交BC于點M，連接AM、BD交于點N，現有下列結論：
①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=ADCM；④點N為△ABM的外心．其中正確的個數為（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，直線
（
）與直線
平行，且與直線
交于點
.
（1）求直線
的函數表達式；
（2）
、
分別是直線、
上兩點，點的橫坐標為
，且
軸，若
，求的值.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】今年汶川車厘子喜獲豐收，車厘子一上市，水果店的王老板用2500元購進一批車厘子，很快售完；老板又用4400元購進第二批車厘子，所購數量是第一批的2倍，由于進貨量增加，進價比第一批每干克少了3元.”
（l）第一批車厘子每千克進價多少元？.
（2）該老板在銷售第二批車厘子時，售價在第二批進價的基礎上增加了
，售出
后，為了盡快售完，決定將剩余車厘子在第二批進價的基礎上每千克降價
元進行促銷，結果第二批車厘子的銷售利潤為1520元，求
的值。（利潤=售價一進價）
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，D、E分別是AC、BC上的點，且AD＝CE，AE與BD相交于點P，BF⊥AE于點F．若PF＝4，PD＝1，則AE的長為_____．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】（1）如圖1，等腰
和等腰
中，
，
，
，
三點在同一直線上，求證：
；
（2）如圖2，等腰中，
，
，是三角形外一點，且，求證：
；
（3）如圖3，等邊中，是形外一點，且
，
①
的度數為 ；
②
，
，
之間的關系是 .
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】小華同學對圖形旋轉前后的線段之間、角之間的關系進行了拓展探究．
（一）猜測探究
在△ABC中，AB＝AC，M是平面內任意一點，將線段AM繞點A按順時針方向旋轉與∠BAC相等的角度，得到線段AN，連接NB．
（1)如圖1，若M是線段BC上的任意一點，請直接寫出∠NAB與∠MAC的數量關系是_______，NB與MC的數量關系是_______；
（2)如圖2，點E是AB延長線上點，若M是∠CBE內部射線BD上任意一點，連接MC，（1)中結論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由。
（二)拓展應用
如圖3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝90°，∠C1＝30°，P是B1C1上的任意點，連接A1P，將A1P繞點A1按順時針方向旅轉60°，得到線段A1Q，連接B1Q．求線段B1Q長度的最小值．
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