Question

【題目】如圖1，一次函數y=2x+4與x軸，y軸分別相交于A，B兩點，一次函數圖象與坐標軸圍成的△ABO，我們稱它為此一次函數的坐標三角形．把坐標三角形面積分成相等的二部分的直線叫做坐標三角形的等積線．

（1）求此一次函數的坐標三角形周長以及過點A的等積線的函數表達式；

（2）如圖2，我們把第一個坐標三角形△ABO記為第一代坐標三角形．第一代坐標三角形的等積線BA1，AB1記為第一對等積線，它們交于點O1，四邊形A1OB1O1稱為第一個坐標四邊形．求點O1的坐標和坐標四邊形A1OB1O1面積；

（3）如圖3．第一對等積線與坐標軸構成了第二代坐標三角形△BA1O．△AOB1分別過點A，B作一條平分△BA1O，△AOB1面積的第二對等積線BA2，AB2，相交于點O2，如此進行下去．…，請直接寫出On的坐標和第n個坐標四邊形面積（用n表示）．

Answer 1

【答案】（1）周長為6+2；等積線的函數表達式：y=x+2；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）令y=0求出x的值，令x=0求出x的值，從而得到點A、B的坐標，再求出OA、OB的長，然后利用勾股定理列式求出AB，再根據三角形的周長公式列式計算即可得解；根據等積線的定義求出A1、B1的坐標，然后利用待定系數法求一次函數解析式解答；

（2）聯立兩等積線解析式求解即可得到O1的坐標，再根據坐標四邊形A1OB1O1面積=S△AOB1-S△AA1O1，列式計算即可得解；

（3）根據等積線的定義求出OAn、OBn，從而得到An、Bn的坐標，再利用待定系數法寫出ABn、BAn的解析式，聯立求解即可得到點On的坐標，再根據坐標四邊形面積=S△AOBn-S△AAnOn，列式計算即可得解．

試題解析：（1）令y=0，則2x+4=0，

解得，x=﹣2，

令x=0，則y=4，

∴點A（﹣2，0），B（0，4），

∴OA=2，OB=4，

由勾股定理得，AB=

所以，周長為6+2

∵AB1、BA1是等積線，

∴A1（﹣1，0），B1（0，2），

∴等積線的函數表達式：y=x+2；

（2）聯立

解得，

∴O1（， ），

坐標四邊形A1OB1O1面積=S△AOB1﹣S△AA1O1，

=×2×2﹣×（2﹣1）×，

=2﹣，

=；

（3）由題意得，OAn=，OBn=，

所以，等積線BAn的解析式為：y=2n+1x+4，

ABn的解析式為：y=x+，

聯立，解得，

∴點On（﹣， ），

坐標四邊形面積=S△AOBn﹣S△AAnOn，

=×2×﹣×（2﹣）×，

=﹣，

=，

=．