Question

【題目】設拋物線F的解析式為：y＝2x2﹣4nx+2n2+n，n為實數．

（1）求拋物線F頂點的坐標（用n表示），并證明：當n變化時頂點在一條定直線l上；

（2）如圖，射線m是（1）中直線l與x軸正半軸夾角的平分線，點M，N都在射線m上，作MA⊥x軸、NB⊥x軸，垂足分別為點A、點B（點A在點B左側），當MA+NB＝MN時，試判斷是否為定值，若是，請求出定值；若不是，說明理由．

（3）已知直線y＝kx+b與拋物線F中任意一條都相截，且截得的長度都為，求這條直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2；（3）y＝x+2．

【解析】

（1）將拋物線配方成頂點式可得頂點坐標及其所在直線解析式；
（2）由直線l的斜率及角平分線得出∠NOB=30°、MA=OM、NB=ON，根據MA+NB=OM+ON=OM+（OM+MN）=MN知OM=MN，由可得答案；
（3）聯立得2x2-（4n+k）x+2n2+n-b=0，設交點坐標為P（x1、y1）、Q（x2，y2），由韋達定理知x1+x2=、x1x2=，從而由為定值得k=，進一步求解可得．

（1）∵y＝2x2﹣4nx+2n2+n＝2（x﹣n）2+n，

∴拋物線的頂點坐標為F（n， n），

由圖可設直線l的解析式為y＝kx，

將點F（n， n）代入，得： n＝kn，

解得：k＝，

則當n變化時，頂點在直線y＝x上；

（2）∵由直線l的斜率為知直線l與x軸正半軸的夾角為60°，

∴∠NOB＝30°，MA＝OM、NB＝ON，

MA+NB＝OM+ON＝OM+（OM+MN）＝MN，

∴OM＝MN，

則＝2；

（3）聯立，得：2x2﹣（4n+k）x+2n2+n﹣b＝0，

設交點坐標為P（x1、y1）、Q（x2，y2），

由韋達定理知x1+x2=、x1x2=，

∴PQ＝

＝

＝

＝為定值，

則一定有k＝，

代入得3+8b＝19，

解得b＝2，

故直線的解析式為y＝x+2．