Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3）．

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）若P是第四象限內這個二次函數的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與BC交于點M，連接PC．

①求線段PM的最大值；

②當△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）二次函數的表達式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（1，﹣4）或（，﹣2﹣1）．

【解析】（1）根據待定系數法，可得答案；

（2）①根據平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；

②根據等腰三角形的定義，可得方程，根據解方程，可得答案．

（1）將A，B，C代入函數解析式，

得，解得，

這個二次函數的表達式y=x2﹣2x﹣3；

（2）設BC的解析式為y=kx+b，

將B，C的坐標代入函數解析式，得

，解得，

BC的解析式為y=x﹣3，

設M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），

PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，

當n=時，PM最大=；

②當PM=PC時，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，

解得n1=0（不符合題意，舍），n2=2，

n2﹣2n﹣3=-3，

P（2，-3）；

當PM=MC時，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，

解得n1=0（不符合題意，舍），n2=3+（不符合題意，舍），n3=3-，

n2﹣2n﹣3=2-4，

P（3-，2-4）；

綜上所述：P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）．