Question

在正方形ABCD中，點M是射線BC上一點，點N是CD延長線上一點，且BM=DN．直線BD與MN相交于E．
（1）如圖1，當點M在BC上時，求證：BD－2DE=BM；
（2）如圖2，當點M在BC延長線上時，BD、DE、BM之間滿足的關系式是        ；
（3）在（2）的條件下，連接BN交AD于點F，連接MF交BD于點G．若DE=，且AF：FD=1：2時，求線段DG的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）BD+2DE=BM；（3）．

試題分析：（1）過點M作MF⊥BC交BD于點F，推出FM=DN，根據AAS證△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根據正方形的性質和勾股定理求出即可；
（2）過點M作MF⊥BC交BD于點F，推出FM=DN，根據AAS證△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根據正方形的性質和勾股定理求出即可；
（3）根據已知求出CM的長，證△ABF∽△DNF，得出比例式，代入后求出CD長，求出FM長即可．
試題解析：（1）過點M作MF⊥BC交BD于點F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∴FM∥CD，
∴∠NDE=∠MFE，
∴FM=BM，
∵BM=DN，
∴FM=DN，
在△EFM和△EDN中，
，
∴△EFM≌△EDN，
∴EF=ED，
∴BD-2DE=BF，
根據勾股定理得：BF=BM，
即BD-2DE=BM．
（2）過點M作MF⊥BC交BD于點F，與（1）證法類似：BD+2DE=BF=BM，
（3）由（2）知，BD+2DE=BM，BD=BC，
∵DE=，

∴CM=2，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△DNF，
∴AF：FD=AB：ND，
∵AF：FD=1：2，
∴AB：ND=1：2，
∴CD：ND=1：2，
CD：（CD+2）=1：2，
∴CD=2，∴FD=，
∴FD：BM=1：3，
∴DG：BG=1：3，
∴DG=．