Question

【題目】如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF= ∠CAB．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接AE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴∠1+∠2=90°．

∵AB=AC，

∴∠1= ∠CAB．

∵∠CBF= ∠CAB，

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直徑，

∴直線BF是⊙O的切線．

（2）

解：過點C作CG⊥AB于G．

∵sin∠CBF= ，∠1=∠CBF，

∴sin∠1= ，

∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，

∴BE=ABsin∠1= ，

∵AB=AC，∠AEB=90°，

∴BC=2BE=2 ，

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= =2 ，

∴sin∠2= = = ，cos∠2= = = ，

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，

∴AG=3，

∵GC∥BF，

∴△AGC∽△ABF，

∴

∴BF= =

【解析】（1）連接AE，利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF=90°；　　
　　　　（2）利用已知條件證得△AGC∽△ABF，利用比例式求得線段的長即可．
【考點精析】掌握勾股定理的概念和圓周角定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．