Question

如圖，已知拋物線y＝－x²＋bx＋c與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，且OA＝OB．

1.求b＋c的值

2.若點(diǎn)C在拋物線上，且四邊形OABC是平行四邊形，試求拋物線的解析式；

3.在（2）的條件下，作∠OBC的角平分線，與拋物線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

Answer 1

 

1.因?yàn)閽佄锞�y＝－x²＋bx＋c與y軸正半軸交于點(diǎn)B，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，c）．…… 1分

因?yàn)镺A＝OB，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－c，0）．…… 2分

將點(diǎn)A（－c，0）代入y＝－x²＋bx＋c，得－c²＋bc＋c＝0．

因?yàn)閏≠0，整理，得b＋c＝1．…… 4分

2.如果四邊形OABC是平行四邊形，那么BC//AO，BC＝AO．

因此點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為（c，c）．…… 5分

當(dāng)點(diǎn)C（c，c）落在拋物線y＝－x²＋bx＋c上時(shí)，得－c²＋bc＋c＝c．

整理，得b＝c．…… 6分

結(jié)合第（1）題的結(jié)論b＋c＝1，得．…… 7分

此時(shí)拋物線的解析式為．…… 8分

3.過點(diǎn)P作PM⊥y軸，垂足為M．

因?yàn)锽P平分∠CBO，所以△BPM是等腰直角三角形．9分

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

由BM＝PM，列方程．…… 10分

解得或（舍去）．…… 11分

所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．…… 12分

解析:（1）因?yàn)閽佄锞�y＝－x²＋bx＋c與y軸正半軸交于點(diǎn)B，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，c）．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－c，0）．代入y＝－x²＋bx＋c，求得b＋c的值

（2）根據(jù)四邊形OABC是平行四邊形，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為（c，c）進(jìn)行解答

（3）過點(diǎn)P作PM⊥y軸，垂足為M．證得△BPM是等腰直角三角形