Question

【題目】在平行四邊形中，對角線、交于點，，，點從點出發，沿方向勻速運動，速度為；同時，點從點出發，沿方向勻速運動，速度為；當一個點停止運動時，另一個點也停止運動．連接，過點作，設運動時間為，

解答下列問題：

（1）當為何值時是等腰三角形？

（2）設五邊形面積為，試確定與的函數關系式；

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（4）在運動過程中，是否存在某一時刻使得平分，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或或 （2） （3）存在； （4）存在；

【解析】

（1）分三種情況：，，分類討論即可；

（2）過點作于點，先求出的面積，再求出四邊形的面積，把兩個面積相加即可；

（3）過點作于點，求出，再求出的面積，由第二問我們可以知道五邊形面積表達式，根據列出方程即可得出答案；

（4）過點作于點，平分，利用，得出，設，則，利用，得出的表達式，在中，利用勾股定理列出方程，求出，進而求出，從而得出答案．

解：∵，，,

∴，

∴都是直角三角形，

∴，

∵四邊形是平行四邊形，

∴，

（1）當，

由題意知道：，∴，即；

當時，過點作于點，則，

∵，，

∴，

∴，即：，

解得：；

當時，過點作于點，則，

∵，

∴，即，

解得：；

綜上所述：當、或時，是等腰三角形；

（2）過點作于點，

∵，,

∴，

∴，即，

∴，

∵，

∴

∴，

∴，

在中，，

，

∴，

∴；

（3）存在；

理由如下：

過點作于點，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

整理得：

解得：，

∵不能為負數，

∴舍去，

∴，

∴當時，；

（4）存在；

理由如下：

過點作于點，

∵平分，

∴，

又∵，

∴，

∴，

設，則，

∵，，

∴,

∴，即，

∴，

在中，由勾股定理得：

，即，

整理得：，

解得：，（舍去），

∵不能為負數，∴舍去，

∴，

∴，

∴當時，平分．