Question

【題目】如圖1，正方形ABCD中，AB=4cm，點P從點D出發沿DA向點A勻速運動，速度是1cm/s，同時，點Q從點A出發沿AB方向，向點B勻速運動，速度是2cm/s，連接PQ、CP、CQ，設運動時間為t（s）（0＜t＜2）

（1）是否存在某一時刻t，使得PQ∥BD？若存在，求出t值；若不存在，說明理由

（2）設△PQC的面積為s（cm2），求s與t之間的函數關系式；

（3）如圖2，連接AC，與線段PQ相交于點M，是否存在某一時刻t，使S△QCM：S△PCM=3：5？若存在，求出t值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=t2﹣2t+8（0＜t＜2）；（3）.

【解析】

由題意可得：由運動知，DP=t，AQ=2t，得出AP=4-t，BQ=4-2t，

（1）判斷出AQ=AP，得出2t=4-t，即可；

（2）直接利用面積的和差即可得出結論；

（3）先判斷 =，再得到，從而得出解方程即可得出結論．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=4，

由運動知，DP=t，AQ=2t，

∴AP=4﹣t，BQ=4﹣2t，

（1）連接BD，如圖1，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵PQ∥BD，

∴∠ABD=∠AQP，∠APQ=∠ADB，

∴∠APQ=∠AQP，

∴AQ=AP，

∴2t=4﹣t，

∴t=；

（2）S=S正方形ABCD﹣S△APQ﹣S△BCQ﹣S△CDP

=AB2﹣AQ×AP﹣BQ×BC﹣DP×CD

=16﹣×2t×（4﹣t）﹣×（4﹣2t）×4﹣t×4

=16+t2﹣4t﹣8+4t﹣2t

=t2﹣2t+8（0＜t＜2）；

（3）如圖2，

過點C作CN⊥PQ于N，

∴S△MCQ=MQ×CN，S△MCP=MP×CN，

∵S△QCM：S△PCM=3：5，

∴ = ，

∴，

過點M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，

∵點M是正方形ABCD的對角線AC上的一點，

∴MG=MH，

∴S△AMQ=AQ×MG，S△APM=AP×MH，

∴

∴

∴t= ．