Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點A和點P，若將點P繞點A逆時針旋轉90°后得到點Q，則稱點Q為點P關于點A的“垂鏈點”，圖1為點P關于點A的“垂鏈點”Q的示意圖．

（1）如圖2，已知點A的坐標為（0，0），點P關于點A的“垂鏈點”為點Q；

①若點P的坐標為（3，0），則點Q的坐標為　 　；

②若點Q的坐標為（﹣2，﹣1），則點P的坐標為　 　；

（2）如圖3，已知點C的坐標為（﹣1，0），點D在直線y＝2x﹣2上，若點D關于點C的“垂鏈點”E在坐標軸上，試求出點D的坐標；

（3）如圖4，在平面直角坐標系xOy，已知點A（2，0），點C是y軸上的動點，點A關于點C的“垂鏈點”是點B，連接BO、BA，則BO+BA的最小值是　 　．

Answer 1

【答案】（1）①（0，3）；②（﹣1，2）；（2）點D（﹣1，﹣4）或（，﹣1）；（3）．

【解析】

（1）①若點P的坐標為（3，0），則點Q的坐標為 （0，3），②若點Q的坐標為（﹣2，﹣1），同理可得：點P的坐標為（﹣1，2）；

（2）分當點E（E′）落在x軸上、點E落在y軸兩種情況，分別求解即可；

（3）BO+BA＝

，BO+BA的值，相當于求點P（m，m）到點M（1，﹣1）和點N（0，﹣1）的最小值，相當于在直線y＝x上尋找一點P（m，m），使得點P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距離和最小，即可求解．

解：（1）①若點P的坐標為（3，0），則點Q的坐標為 （0，3），

故答案為：（0，3）；

②若點Q的坐標為（﹣2，﹣1），

同理可得：點P的坐標為（﹣1，2），

故答案為：（﹣1，2）；

（2）①當點E（E′）落在x軸上時，如圖1

則點D（D′）關于點C的“垂鏈點”在x軸上，點CD⊥x軸，

x＝﹣1時，y＝﹣2﹣2＝﹣4，

故點D（﹣1，﹣4）；

②當點E落在y軸時，如圖1：

設點D（m，2m﹣2），

點D的“垂鏈點E在y軸上，

過點D作DH⊥x軸于點H，

則△CHD≌△EOC（AAS），

則DH＝OC＝1，即：2m﹣2＝﹣1，解得：m＝，

故點D（，﹣1），

綜上，點D（﹣1，﹣4）或（，﹣1）；

（3）如圖作BH⊥OH于H．

設點C的坐標為（0，m），

由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝1，

則點B（m，1+m），

則：BO+BA＝

，

BO+BA的值，相當于求點P（m，m）到點M（1，﹣1）和點N（0，﹣1）的最小值，

相當于在直線y＝x上尋找一點P（m，m），使得點P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距離和最小，

作M關于直線y＝x的對稱點M′（﹣1，0），

易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′，

M′N＝＝，

故答案為：．