Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線與軸交于點，點，與軸交于點，連接，點在第二象限的拋物線上，連接，線段交線段于點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）若的面積為，的面積為當時，求點的坐標；

（3）已知點關于拋物線對稱軸的對稱點為點，連接，點在軸上，當時，

①求滿足條件的所有點的坐標；

②當點在線段上時，點是線段外一點，，連接，將線段繞著點順時針旋轉，得到線段，連接，直接寫出線段的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）①或；②

【解析】

（1）將點A、B坐標代入解析式解答即可；

（2）先求出點C的坐標為（0,3），過點C作CG⊥OP于G，根據， ，得到，過點P作PF⊥x軸于F，過點E作EN⊥PF于N，得到，設點P的坐標為（a，），求出直線BC的解析式為y=x+3，得到E（，+3），根據2PF=5PN得到5(--3)=2()，求出x值即可得到點P的坐標；

（3）①先求出拋物線的對稱軸是直線x=-1，得到N（-2,3），求出直線BN的解析式為y=3x+9，分兩種情況：當點H在OB之間時，由，得到BN∥CH，得到直線CH的解析式為y=3x+3，即可求出點H的坐標為（-1,0）；當點H在點B左側時，CH交BN于M，作直線OM，由得到BM=MC，故OM是BC的垂直平分線，求出交點M的坐標為（-，），再求出直線CM的解析式為y=x+3，即可得到點H的坐標為（-9,0）；②如圖1，當點Q在x軸下方且MH⊥x軸時，MH最小，作QG⊥x軸，過點M作MF⊥QG于F，則四邊形MHGF是矩形，證明△BQG≌△QMF，得到FM=GQ，BG=FQ，利用勾股定理求出GQ=GH=，得到MH=FG=BG-FG=；如圖2，當點Q在x軸上方，且MH⊥x軸時，MH最大，過點Q作QG⊥x軸，QF⊥MH于F，則四邊形HGQF是矩形，同理：△BGQ≌△MFQ，得到QG=FQ=HG，BG=MF，利用勾股定理求出GQ=GH=，得到MH=BG+FH= ，即可得到MH的取值范圍.

（1）將點A、B的坐標代入中，得

，解得，

∴拋物線的表達式為；

（2）當x=0時，y=3，∴點C的坐標為（0,3），

過點C作CG⊥OP于G，

∵， ，，

∴，

∴，

過點P作PF⊥x軸于F，過點E作EN⊥PF于N，

∴EN∥OF，

∴,

設點P的坐標為（a，），

∴OF=-a，EN=-，

∴點E的橫坐標為，

∵B（3,0），C（0,3），

∴直線BC的解析式為y=x+3，

當x=時，y=+3，

∴E（，+3），

∵2PF=5PN，

∴5(--3)=2(),

解得，，

∴點P的坐標為（-1,4）或（-2,3）；

（3）①∵，

∴拋物線的對稱軸是直線x=-1，

∵點關于拋物線對稱軸的對稱點為點，C（0,3），

∴N（-2,3），

設直線BN的解析式為y=kx+b，

∴，解得，

∴直線BN的解析式為y=3x+9，

當點H在OB之間時，如圖，

∵，

∴BN∥CH，

設直線CH的解析式為y=3x+m，將點C的坐標代入，得m=3,

∴直線CH的解析式為y=3x+3，

當y=0時，得x=-1，

∴點H的坐標為（-1,0）；

當點H在點B左側時，如圖，CH交BN于M，作直線OM，

∵，

∴BM=MC，

∵OB=OC，

∴OM是BC的垂直平分線，

∴直線OM的解析式為y=-x，

解方程組，得，

∴點M的坐標為（-，），

設直線CM的解析式為y=cx+n，

∴，∴，

∴直線CM的解析式為y=x+3，

當y=0時x=-9，∴點H的坐標為（-9,0），

綜上，當時，點H的坐標為（-1,0）或（-9，0）；

②如圖1，當點Q在x軸下方且MH⊥x軸時，MH最小，作QG⊥x軸，過點M作MF⊥QG于F，則四邊形MHGF是矩形，

∴FM=GH，FG=MH，

∵∠BQM=∠F=90°，

∴∠BQG+∠FQM=∠FMQ+∠FQM=90°，

∴∠BQG=∠FMQ，

∵∠BGQ=∠F，BQ=MQ，

∴△BQG≌△QMF，

∴FM=GQ，BG=FQ，

∴GQ=FM=GH，

∵QH=1，

∴GQ=GH=，

∴ MH=FG=BG-FG=；

如圖2，當點Q在x軸上方，且MH⊥x軸時，MH最大，過點Q作QG⊥x軸，QF⊥MH于F，則四邊形HGQF是矩形，

∴FQ=HG，FH=QG，

同理：△BGQ≌△MFQ，

∴QG=FQ=HG，BG=MF，

∵QH=1，

∴GQ=GH=，

∴MH=BG+FH= ，

∴MH的取值范圍是.