Question

【題目】如圖1，已知直線y= x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax2+4ax+b經過A．C兩點，且與x軸交于另一點B．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點Q在拋物線上，且△AQC與△BQC面積相等，求點Q的坐標；
（3）如圖2，P為△AOC外接圓上弧ACO的中點，直線PC交x軸于點D，∠EDF=∠ACO，當∠EDF繞點D旋轉時，DE交直線AC于點M，DF交y軸負半軸于點N．請你探究：CN﹣CM的值是否發生變化？若不變，求出其值；若變化，求出變化范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把x=0代入直線的解析式得：y=2，

∴C（0，2）．

把y=0代入直線的解析式得： x+2=0，解得：x=﹣5，

∴A（﹣5，0）．

將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式得： ，解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2﹣ x+2

（2）

解：令y=0得：﹣ x2﹣ x+2=0，解得x=1或x=﹣5，

∴B（1，0）．

如圖1所示：當Q在直線AC上方的拋物線上時．

∵△ACQ和△BCQ為同底的三角形，且它們的面積相等，

∴點A和點B到直線CQ的距離相等．

∴QC∥AB．

∵拋物線的對稱軸為x=﹣2，

∴點Q與點C關于x=﹣2對稱，

∴Q（﹣4，2）．

如圖2所示：當Q在直線AC下方的拋物線上時．

設直線CQ與x軸于點L，則△ACQ的面積= AL|yC﹣yQ|，△BCQ的面積= BL|yC﹣yQ|．

∵△ACQ的面積等于△BCQ的面積，

∴AL=BL．

∴L（﹣2，0）．

設直線LC的解析式為y=kx+b，將點C和點L的坐標代入得： ，解得k=1，b=2．

∴直線CL的解析式為：y=x+2．

將y=x+2與y=﹣ x2﹣ x+2聯立得： ，解得： 或 ，

∴Q（﹣ ，﹣ ）．

綜上所述，存在兩個符合條件的點：Q（﹣4，2）或Q（﹣ ，﹣ ）

（3）

解：如圖3所示：

設△AOC的外接圓圓心為S，連接SP，作∠NDR=∠PDE，交y軸于點R，則∠PDR=∠MDN=∠ACO，

∵P是弧ACO的中點，

∴SP平行于y軸，

∴∠PSC=∠ACO=∠CDR，∠SPC=∠RCD，

∴△SCP∽△DCR．

∴△DCR也是等腰三角形，即CD=DR；

又∵DO⊥CR，

∴OC=OR=2．

∴CR=4

∵∠PCS=∠DRC，

∴∠DCM=∠DRN．

在△DCM和△DRN中 ，

∴△DCM≌△DRN．

∴CM=RN．

∴CN﹣CM=CN﹣RN=CR=4

【解析】（1）先求得點A和點C的坐標，然后將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式求得a、b的值即可；（2）先求得點B的坐標，當Q在直線AC上方的拋物線上時．△ACQ和△BCQ為同底的三角形，則QC∥AB，依據拋物線的對稱性質可求得點Q的坐標；當Q在直線AC下方的拋物線上時．設直線CQ與x軸于點L，由△ACQ的面積等于△BCQ的面積，可知AL=BL，然后求得CL的解析式，最后求得LC與拋物線的交點坐標即可；（3）設△AOC的外接圓圓心為S，連接SP，作∠NDR=∠PDE，交y軸于點R，先證明△SCP∽△DCR，則CD=DR，依據等腰三角形三線合一的性質可知OC=OR=2．然后再證明△DCM≌△DRN，則CM=RN，最后證明CN﹣CM=CR即可．
【考點精析】利用二次函數的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數．