Question

含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）繞直角頂點C沿逆時針方向旋轉角α（∠α＜90°），再沿∠A的對邊翻折得到△A′B′C，AB與B′C交于點M，A′B′與BC交于點N，A′B′與AB相交于點E．
（1）求證：△ACM≌△A′CN；
（2）當∠α=30°時，找出ME與MB′的數量關系，并加以說明．

Answer 1

（1）證明：∵∠A=∠A′，AC=A′C，∠ACM=∠A'CN=90°-∠MCN，
∴△ACM≌△A'CN．

（2）解：在Rt△ABC中
∵∠B=30°，∴∠A=90°-30°=60°．
又∵∠α=30°，∴∠MCN=30°，
∴∠ACM=90°-∠MCN=60°．
∴∠EMB′=∠AMC=∠A=∠MCA=60°．
∵∠B′=∠B=30°，
所以三角形MEB′是Rt△MEB′，且∠B′=30°．
所以MB′=2ME．
分析：（1）要證△ACM≌△A'CN，根據已知，只需證∠ACM=∠A′CN．
很明顯都用90°減去∠BCB′就可以得到．再加上∠A=∠A′，AC=A′C，即可證三角形全等．
（2）根據題意可知，∠MCN=∠α=30°，則∠AMC=∠MCN+∠B=60°，那么∠EMB′=60°．
而∠B′=30°，顯然在Rt△MB′E中，ME=MB′．
點評：本題利用了全等三角形的判定和性質，旋轉和對折后得到的圖形和原來的圖形全等的知識．